1. 무한 급수의 수렴 및 발산의 구분
ㅇ 무한 급수가 유한한 합을 가지는지 여부
- 급수의 수렴 (Convergence) : 부분합이 유한한 극한값 S에 접근하는 경우
- 급수의 발산 (Divergence) : 부분합이 유한한 극한값에 접근하지 못하는 경우
. 양(+∞) 또는 음(−∞)의 무한대로 발산하거나, 진동하여,
. 극한이 존재하지 않는 경우
※ 수렴,발산은, 급수 자체의 성질이 아니라,
- 그 급수로부터 만들어지는, 부분합 수열의 극한 존재 여부로 정의됨
2. 무한 급수는, 부분합 수열에 의해, 수렴 및 발산을 나타냄
ㅇ 무한 급수의 부분합 및 부분합의 수열
- 부분합 : [#S_n = \sum^n_{i=1}c_i = c_1+c_2+\cdots+c_n#]
- 부분합의 수열 : [#\{S_n\} = S_1,S_2,S_3,\cdots,S_n,\cdots#]
ㅇ 여기서, 급수의 수렴 문제는,
- 이 {#S_n#}(첫 n개 항까지의 유한합)을 {#n\to\infty#}로 보낼 때, 어떻게 되느냐의 문제임
ㅇ 무한 급수가 수렴할 때, → (부분합 수열의 극한이 존재)
- 만일,
. 부분합의 수열 {#\{S_n\}#}이 수렴하면서,
. 부분합의 극한값 {#\lim_{n\to\infty}S_n=S#}이 존재하면,
. 무한 급수 {#\sum^{\infty}_{n=1}c_n#}은 수렴한다고 함
- 즉, [#c_1+c_2+\cdots+c_n+\cdots =
\lim_{n\to\infty}\sum^n_{i=1}c_i = \sum^{\infty}_{i=1}c_i = S#]
. n이 무한으로 갈수록 부분합이 특정 유한값으로 수렴(접근)하는 경우
ㅇ 무한 급수가 발산할 때, → (부분합 수열의 극한이 존재 않음)
- 만일,
. 부분합의 수열 {#\{S_n\}#}이 발산하면,
. 무한 급수 {#\sum^{\infty}_{n=1}c_n#}은 발산한다고 함
- 즉,
. {#\lim_{n\to\infty}S_n=+\infty#} 또는 {#−\infty#} (발산)
. {#\lim_{n\to\infty}S_n#}이 존재하지 않는 경우 (진동 발산, 例: {#\sum(-1)^n#})
3. 급수의 수렴 여부 판정법
ㅇ 발산 판정법 (Divergence Test / n-th Term Test)
- {#\lim_{n \to \infty}c_n#}이 존재 않거나, {#\lim_{n \to \infty}c_n \neq 0#}이면,
. 급수 {#\sum^{\infty}_{n=1}c_n#}은, 발산함
- 단, {#\lim_{n \to \infty}c_n = 0#}이면,
. 급수 {#\sum^{\infty}_{n=1}c_n#}은, 수렴할 수도 발산할 수도 있음 (필요조건일 뿐, 충분조건이 아님)
. 例)
.. 조화급수 {#\sum^{\infty}_{n=1}c_n=\sum^{\infty}_{n=1}1/n#}에서, {#\lim c_n=0#} → (발산)
.. p 급수 (p > 1) {#\sum^{\infty}_{n=1}c_n=\sum^{\infty}_{n=1}1/n^p#}에서, {#\lim c_n=0#} → (수렴)
ㅇ 적분 판정법 (Integral Test)
- {#f#}가 [1,∞)에서, 연속이고 양이며 단조감소일 때, {#c_n = f(n)#}이면,
- {#\sum^{\infty}_{n=1}c_n#}의 수렴 / 발산 ⟺ {#\int^{\infty}_1 f(x)dx#}의 수렴 / 발산
ㅇ 비교 판정법 (Comparison Test)
- {#0 \le c_n \le b_n#}일 때,
. {#\sum b_n#} 수렴 {#\Rightarrow#} {#\sum c_n#} 수렴
. {#\sum c_n#} 발산 {#\Rightarrow#} {#\sum b_n#} 발산
ㅇ 교대급수 판정법 (Alternating Series Test, Leibniz 판정법)
ㅇ 비율 판정법 (ratio test)
ㅇ 거듭제곱근 판정법 (root test) 등