grad   Gradient Operation   경도 연산, 기울기 연산, 구배

(2023-06-01)

경도 , Gradient Operator, 경도 연산자, 기울기 연산자, 구배 연산자, grad 연산자


1. 구배 (勾配) 또는 기울기/경도 (傾度) (Gradient, Slope) 이란?

  ㅇ [일변수 함수]  ☞ 기울기 참조
     - 기울어진 정도

  ㅇ [다변수 함수]  ☞ 아래 2.,3.4.,5.항 참조
     - 어떤 장(場)(스칼라함수,벡터함수) 내부 각 점에서의,
     - 기울기(변수변화율)를 일반화시킨 것


2. 기울기 연산 (Gradient Operation)  :  ∇(·)  또는  grad (·)스칼라장 Ψ에, 기울기 연산 ∇(·)을 취하면, 그 결과 `∇Ψ`은, 
     - Ψ의 `최대 공간 증가율인 (변화가 가장 빠르게 일어나는)`
        . 크기와 방향을 동시에 나타내는 `벡터`가 됨

     - 스칼라장 例) : 압력,밀도,온도,전위 등

  ㅇ 즉, 주어진 점에서, ∇Ψ 라는 기울기 벡터는,
     - 그 점에서 벡터 방향이, Ψ가 최대의 변화율을 보이는 방향 임
     - 그 점에서 벡터 크기가, 단위 좌표 길이 당 Ψ의 최대 변화율 임

  ㅇ 기울기 연산의 성질 요약
     -  ∇Ψ의 크기  :  단위길이 당 Ψ 의 최대 변화율이 됨
     -  ∇Ψ의 방향  : Ψ의 최대 변화율(최대로 증가하는) 방향을 가리킴


3. 기울기 연산자 (Gradient Operator)  :  ∇  또는  grad스칼라장벡터장으로 변환시키는, 벡터 미분 연산자나블라 연산자 (델 연산자) 참조
     - 위치에 따라 물리량의 크기가 변화하는 공간(온도,퍼텐셜 등)에 쓰이는 연산자
        . 변화가 가장 빠르게 일어나는 방향 및 그 변화율을 계산할 수 있게 함

  ㅇ 기울기 연산자 표기
     -   grad Ψ =  ∇Ψ = ∂Ψ/∂x ax + ∂Ψ/∂y ay + ∂Ψ/∂z az기울기 연산의 결과가 벡터가 됨
     - 여기서, ∇Ψ 또는 grad Ψ 를,
     - `기울기 벡터 (Gradient Vector)` 또는 `기울기 벡터장 (Gradient Vector Field)` 이라고 함


4. 기울기 연산 표현  :  좌표계에 따라 달리 표현됨직각좌표계   원통좌표계   구좌표계     


5. 기울기 연산 공식

  ㅇ  ∇ (c U)  = c ∇U  (단, C는 상수)

  ㅇ  ∇(U + V) = ∇U + ∇V

  ㅇ  ∇(U V) = U (∇V) + V (∇U)

  ㅇ  ∇(U/V) = [V(∇U) - U(∇V)]/V2

  ㅇ  ∇Vn = n Vn-1 ∇V

스칼라장,벡터장 연산
   1. 장(Field)   2. 델 연산자   3. 기울기 연산 (grad)   4. 기울기 벡터장   5. 발산 연산 (div)   6. 회전 연산 (curl)   7. 라플라시안 (div grad)   8. 텐서  


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