Injection, Surjection, Bijection   단사 함수, 전사 함수, 전 단사 함수

1. [수학]  단사(單射) 함수, 전사(全射) 함수, 전 단사 함수

   


2. 단사 함수 (Injection, Injective Function)

  ※ 집합 X에서 Y로 대응하는 함수 f를,  f : X → Y 라고 할  때,

  ㅇ Y의 각 원소에 대응하는 X의 원소가 기껏해야 하나 만 갖을 때
     - 즉, 결과 Y에 원인 X가 유일함

  ㅇ 특징
     - 치역과 공역이 일치 안함
     - 정의역의 원소가 공역의 원소 보다 같거나 더 적은 경우
     - f에 의한 상(image)이 구별됨
        . x1≠x2일때, f(x1)≠f(x2)
        . 또는, f(x1)=f(x2)이면, x1=x2
        . 치역의 각 원소에 정의역의 원소가 오직 하나씩 만 대응됨
        . 정의역의 원소가 서로 다르면 대응하는 상(image)도 서로 다름

  ㅇ (명칭)
     - 일대일 함수 (One-to-one Function)
     - 일대일 매핑, 일대일 사상 (One-to-one Mapping) 


3. 전사 함수 (Surjection, Surjective Function)

  ※ 집합 X에서 Y로 대응하는 함수 f를,  f : X → Y 라고 할  때,

  ㅇ Y의 각 원소에 대응하는 X의 원소를 1 이상 갖을 때
     - 즉, 결과 Y에 원인 X가 여럿일 수가 있음

  ㅇ 특징
     - 치역과 공역이 일치함
     - 정의역의 원소가 공역의 원소 보다 같거나 더 많은 경우

  ㅇ (명칭)
     - 위로 가는 함수, 위로의 함수 (Onto Function)
     - 위로의 매핑, 위로의 사상 (Onto Mapping)
     - 이때의 f를, Y 위로 대응하는 함수


4. 전 단사 함수 (Bijection, Bijective Function)

  ※ 집합 X에서 Y로 대응하는 함수 f를,  f : X → Y 라고 할  때,

  ㅇ 전사이고 동시에 단사인 경우의 함수
     - 모든 원소가 일대일로 하나도 빠짐없이 대응되는(짝을 이루는) 경우임

  ㅇ 특징
     - 치역과 공역이 일치함
     - 정의역의 원소와 공역의 원소 개수가 같음
     - 일대일 함수에 치역과 공역이 일치한다는 조건이 추가되면, 일대일 대응이 됨
     - 만일, 대응되는 두 집합이 유한집합이면 원소의 개수가 동일하게 됨
     - 또한, 짝을 이루는 역 함수가 반드시 존재함 (역 사상, iInverse Mapping)

  ㅇ (명칭)
     - 일대일 대응 (One-to-one Correspondence)
     - 치환 (Permutation)

  ※ [참고]  역 함수 (Inverse Function)
     - 함수 f가 전단사일 때, Y의 원소 b를 f(a) = b인 X의 원소 a로 대응시키는 함수
     - 표기 :  {#f^{-1}#}