mod-2, mod-n   modulo 2, Modulo-2, Modulo-n   모듈로 n 연산, 모듈러 2 연산

1. 모듈러 연산 (Modular Arthmetic) 이란?

  ㅇ 유한개 원소 만으로, 산술 연산을 하는 것

  ㅇ 모듈로 n 연산 (Modulo-n Operation)
     - 0 부터 n-1 까지의 제한된 정수 n개 만을 사용하여
     - 산술 연산을 수행함

  ㅇ 모듈로 n 연산의 표기  :  ( mod n )  
     - 연산 결과 값이 항상 n 보다 작은 양의 정수 값이 됨 (이때, 0 포함 됨)


2. 모듈러-2 (Modulo-2)  덧셈 및 곱셈 연산

  ※ 기본적으로, 모듈러-2 나눗셈 연산에 기초함
     - 이는, 2로 나눈 나머지 만을 염두에 두고 계산하는 것임
     * 실제, 모듈러-2 덧셈과 곱셈은, 각각 XOR(배타적 논리합)과 AND(논리합) 연산으로 구현됨

  ㅇ 모듈러-2 덧셈  :  XOR 게이트(배타적-OR 게이트)로 구현 가능

       

     - 논리값 : 0 ⊕ 0 = 0, 0 ⊕ 1 = 1, 1 ⊕ 0 = 1, 1 ⊕ 1 = 0

     - 특징
        . 같으면 = 0, 다르면 = 1 
           .. 동일 비트이면 연산 결과가 0, 상이한 비트이면 연산 결과가 1
           .. 즉, a ⊕ b = 0 (a = b), a ⊕ b = 1 (a ≠ b) 
        . 항등원  :  0 (e ⊕ a = a ⊕ e = a)
        . 역원    :  0의 역원은 0, 1의 역원은 1 이 됨  (각 원소의 역원이 자기자신이 됨)
           .. (a ⊕ a-1 = a-1 ⊕ a = e, 0 ⊕ 0 = 0, 1 ⊕ 1 = 0)
        . 1 ⊕ 1 = 0  =>  1 = -1  =>  ∴ 뺄셈이 덧셈과 같음 
        . 어떤 값에 동일한 값으로 두 번 ⊕ 하면 원래 값으로 됨  
           .. (a ⊕ (a ⊕ b)) = b  :  1 ⊕ (1 ⊕ 1 = 0) = 1 

  ㅇ 모듈러-2 곱셈 : AND 게이트로 구현 가능

        

     - 논리값 : 0 ⊗ 0 = 0, 0 ⊗ 1 = 0, 1 ⊗ 0 = 0, 1 ⊗ 1 = 1

     - 특징
        . 하나라도 0 이면 = 0, 모두 1일 경우에 만 = 1
        . 항등원  :  0 (e ⊗ a = a ⊗ e = a)
        . 역원    :  0의 역원은 0, 1의 역원은 0 이 됨
           .. (a ⊗ a-1 = a-1 ⊗ a = e  :  0 ⊗ 0 = 0, 1 ⊗ 0 = 0)
           .. 즉, 1로 나누는 연산은 변화를 주지 않음

  ※ 한편, 현대대수학 관점의 대수구조로 봤을 때,
     - 모듈러-2 덧셈 및 곱셈은 가환군에 속함   ☞ 가환군 참조


3. 모듈러-n (Modulo-n)  덧셈 및 곱셈 연산

  ※ 기본적으로, 모듈러-2 연산의 확장이며,
     - n으로 나눈 나머지를 염두에 두고 계산함

  ㅇ 모듈러-n 덧셈
     - i (modulo-n addition) j = r 
        .  i + j를 n으로 나눈 나머지가 r

     - 例) 5 (modulo-7 addition) 3 = 1

  ㅇ 모듈러-n 곱셈
     - i (modulo-n multiplication) j = r 
        .  i x j를 n으로 나눈 나머지가 r

     - 例) 5 (modulo-7 multiplication) 3 = 1