Fermion, Fermi–Dirac Statistics   페르미 입자, 페르미온, 페르미-디랙 통계

1. 페르미 입자, 페르미 통계 이란?

  ㅇ 페르미 입자 (Fermion, 페르미온) 또는 페르미 기체 (Fermi Gas)
     - 페르미 통계를 따르는 입자들 : (전자,양성자,중성자 등)
        . 즉, 파울리의 배타원리를 따르고, 구별불가능한 입자들

  ㅇ 페르미 통계 (Fermi statistics)
     - 페르미 입자 계가 따르는 통계적 성질 
     * [참고] ☞ 통계역학 (맥스웰-볼츠만 통계, 보즈-아인슈타인 통계, 페르미-디락 통계) 참조

  ※ 페르미(Enrico Fermi,1901~1954) : 이탈리아 물리학자
     - 반도체 등 고체에서 전하입자(전자,홀)의 존재를,
     - 에너지에 대한 점유 분포 확률로써,
     - 통계역학적 방법으로 제시함 (1926)


2. 페르미-디락 확률분포

  ㅇ 페르미 함수 또는 페르미-디락 함수 (Fermi-Dirac function) : f(E)
     - 특정 양자 상태를 전자가 채울 확률을, 에너지의 함수 f(E)로 표현한 것
        . 열평형상태에서 허용된 에너지 준위를 차지할 전자들의 분포 함수
        . 에너지 E 상태가 전자에 의해 점유될 확률 함수 (점유 확률)

  ㅇ 표현식
       
[# f(E) = \frac{1}{1+e^{(E-E_F)/kT}} #]
  

     - EF : 페르미 에너지 (Fermi Energy) 또는 페르미 준위 (Fermi Level)
        . 특정 온도 마다, 열평형상태 하에서, 페르미함수 f(E)가, 1/2이 되는 에너지준위
           .. 단, 0 K에서는, 전자가 갖을 수 있는 최대 에너지 준위를 나타냄
        . 반도체 내 캐리어 거동을 설명하는 가상 에너지 준위 임
           .. [참고] ☞ 준 페르미 준위, 페르미 준위 변동 참조
     - k : 볼츠만 상수
     - T : 절대온도


3. 페르미-디락 확률분포의 근사

  ㅇ 큰 값의 E (E - EF ≫ kT)
     * `볼츠만 or 맥스웰 볼츠만 근사 (Maxwell Boltzmann Approximation)`
     -  f(E) ≒ e-(E-EF)/kT
       

  ㅇ 낮은 값의 E (E - EF ≪ kT)
     -  f(E) ≒ 1 
        . 낮은 에너지 상태들은 전자들에 의해 완전히 점유되어짐


4. 페르미 함수 f(E)의 온도에 따른 해석

  ㅇ T = 0 K 
     - 0 ~ EF까지의 모든 에너지 상태가, 전자들에 의해 점유됨
     - EF 이상의 에너지 상태들에서, 전자가 비어있게됨
       

  ㅇ T > 0 K  
     - EF 이상의 에너지 상태들에 대해서는,
        . 전자들로 충만될 어떤 확률 f(E)가 있게되며, 
     - EF 이하의 에너지 상태들에 대해서는,
        . 전자들이 비어있을 어떤 확률 1 - f(E)가 있게됨
        

  ㅇ 한편, 페르미 분포함수 f(E)는, 모든 온도에서 EF에 대해 대칭적임
     - 페르미 분포함수 f(E)의 형태가, EF 이상과 이하에서 서로 대칭적임
        


5. [반도체]  점유확률 f(E)와 반도체 에너지밴드 구조 사이의 관계

  ㅇ 진성 반도체     
  ㅇ n-type 반도체   
  ㅇ p-type 반도체