페르미 준위 변동

1. 도핑된 반도체에서, 농도,페르미 레벨,온도 간의 관계식

     
[# n_o = N_c e^{-(E_c-E_F)/kT} \; \rightarrow \; kT\ln(n_o/N_c) = -(E_c-E_F) \\
          p_o = N_v e^{-(E_F-E_v)/kT} \; \rightarrow \; kT\ln(p_o/N_v) = -(E_F-E_v) #]

  ㅇ 여기서,
     - {#E_F#} : 페르미 준위
     - {#E_{c,v}#} : 전도대,가전자대 끝단
        . 대부분의 전도 전자는 전도대 끝단에 존재
        . 대부분의 전도 정공은 가전자대 끝단에 존재
     - {#T#} : 절대온도
     - {#k#} : 볼츠만 상수
     - {#N_{c,v}#} ☞ 상태 밀도, 유효 상태밀도 참조
     - 기본가정 : 볼츠만 근사 (E - EF ≫ kT => f(E) ≒ e-(E-EF)/kT)


2. 온도에 따른 페르미 준위의 변동

  ㅇ 온도에 따른, 페르미 준위는,
     - 온도가 낮으면, 전도대,가전자대의 끝 단에 가까움 : ({#E_c-E_F \sim 0#}),({#E_F-E_v \sim 0#})
     - 온도가 높으면, 진성 페르미 준위에 가까움 : ({#E_F \sim E_{F_i}#})

        


3. 도핑에 따른 페르미 준위의 변동

  ㅇ 도핑 형태(종류,캐리어 농도)에 따라 페르미 준위는 변하게 됨

      

  ㅇ 만일, 
     - n형 반도체에서, {#E_c-E_F#} 차이가 증가하면, 
        . 열평형 하의 전도대에서, 전자 농도가 감소 : 
[# n_o = N_c e^{-(E_c-E_F)/kT} #]
     - p형 반도체에서, {#E_F-E_v#} 차이가 증가하면, 
        . 열평형 하의 가전자대에서, 정공 농도가 감소 : 
[# p_o = N_v e^{-(E_F-E_v)/kT} #]
            


4. 온도 및 도핑에 따른 페르미 준위

  ㅇ n형 반도체
      
[# n_o = N_c e^{-(E_c-E_F)/kT} \\
         E_c - E_F = kT \ln \left( \frac{N_c}{n_o} \right) 
                   \approx kT \ln \left( \frac{N_c}{N_d} \right) \\
         E_F - E_{F_i} = kT \ln \left( \frac{n_o}{n_i} \right) #]

  ㅇ p형 반도체
      
[# p_o = N_v e^{-(E_F-E_v)/kT} \\
         E_F - E_v = kT \ln \left( \frac{N_v}{p_o} \right) 
                   \approx kT \ln \left( \frac{N_v}{N_a} \right) \\
         E_{F_i} - E_F = kT \ln \left( \frac{p_o}{n_i} \right) #]

       

  ※ 이용가능한 `반송자(전자,정공)` 농도, `양자 에너지 상태` 및 온도에 의해 결정됨