1. 베르누이 시행 (Bernoulli Trial)
ㅇ 매 시행 마다, 일정(동일) 확률로 나타나고, 각각의 시행이 통계적으로 독립된 시행
- 例) 동전던지기(매 결과가 오직 두 가지 중 하나만 나옴)와 같은 무작위 확률실험
. S = {success,fail} 또는 {1,0} 등
2. 베르누이 시행의 전제조건
ㅇ (범주성) 각 시행은 2가지 결과 범주 중 1가지로 만 나타남
ㅇ (일관성) 매 결과 확률은 시행의 횟수와는 상관없이 항상 일정(동일)함
ㅇ (독립성) 모든 시행은 매번 독립적임
3. 베르누이 시행의 확률적 표현들
ㅇ 베르누이 시행의 `확률 P` 및 `확률변수 X`
- P(성공) = P(X=1) = P(x=1) = p
- P(실패) = P(X=0) = P(x=0) = 1-p
ㅇ 베르누이 `확률분포 B(·)`의 표기 : X ~ B(1,p) 또는 X ~ Be(1,p)
- (X : 확률변수, B(·) : 베르누이 분포, p : 모수)
. 결과가 1 일 때의 성공 확률 p 가 모수인, 베르누이 확률변수 X가 나타내는 확률분포
ㅇ 확률분포함수
- 확률질량함수 (PMF) : P(x), P[X = x]
[# P_X(x) = p^x (1-p)^{1-x} #]
. (확률변수 값 : {# x=\{1,0\} #}, 성공확률 : {# 0 \le p \le 1 #})
.. x = 1 일 때, P(x) = p
.. x = 0 일 때, P(x) = 1 - p
- 누적분포함수 (CDF)
[# F_X(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
0 & \; x < 0 \\ 1-p & 0 \le \; x < 1 \\ 1 & \; x \ge 1
\end{array} \right. #]
ㅇ 기대값 (Expectation) : E[X] = p
[# μ = E[X] = \sum^1_{x=0} xP_X(x) = \sum^1_{x=0} xp^x(1-p)^{1-x} = (0)(1-p)+(1)(p) = p #]
ㅇ 분산 (Variance) : Var[X] = p(1-p)
[# σ^2 = E[X^2] - (E[X])^2 = E[X^2] - μ^2 \\
\quad = \sum^1_{x=0} x^2p^x(1-p)^{1-x} - p^2 = (0)(p)(1-p)+(1)(p)(1)-p^2 = p-p^2 = p(1-p) #]
4. 베르누이 시행과 관련된 여러 이산확률분포 비교
ㅇ 베르누이분포 : X ~ B(1,p) (1번 만의 베르누이 시행의 성공 확률분포)
ㅇ 이항분포 : X ~ B(n,p) (n번 베르누이 시행의 성공 확률분포,
n=1일 때 베르누이분포와 같아짐)
ㅇ 기하분포 : X ~ Geo(p) (처음 성공할 때까지의 베르누이 시행횟수 분포)
ㅇ 파스칼분포 : X ~ NB(x; k,p) (k번째 성공할 때까지의 베르누이 시행횟수 분포)