Elementary Matrix   기본 행렬

1. 기본 행렬 (Elementary Matrix)

  ㅇ 항등행렬 In에, 한 번의 기본 행 연산을 수행하여 얻어진 행렬
     -  In -- (1회 기본행연산) --→ E

       
 

2. 기본행렬 및 기본행연산 간의 관계

  ㅇ 기본행연산의 주요 형태 : 3가지
     -  ① 행 교환 (Row Exchange) = 치환행렬
     -  ② 행 상수배
     -  ③ 행 교체 (Row Substitution)
     

  ㅇ 기본행연산의 수행 
     - 임의행렬에다가 기본행렬을 왼쪽에 곱하면 기본행연산이 수행됨
        . 例) 


3. 소거 행렬 (Elimination Matrix)

  ㅇ 기본행렬 중 행 교체를 수행하는 행렬

     - 항등행렬 In의 (i,j)번째 항에 `0` 대신에 기본행연산을 위한 
       승수 -lij = aij/aii을 갖게되는 정방행렬 Eij
        . 즉, Eij A 이면, 이는 행렬 A를 j번째 행에 lij를 곱한 것을
          i번째 행에서 빼서 얻게되는 행렬이 됨

  ㅇ 例) 


4. 기본 행렬의 성질

  ㅇ 기본행렬의 곱으로, 기본행연산이 수행됨
     - 기본행렬을 왼쪽에 곱하면 기본행연산이 수행됨 : E A
        . Ek Ek-1 ... E2 E1 A = B  (A,B는 행동치)
        . 이를 기본행렬 역행렬들의 곱으로 나타낼 수 있음
           .. A = E1-1 E2-1 ... Ek-1-1 Ek-1 B  (A,B는 행동치)

  ㅇ 기본행렬은, 역행렬을 갖음 (즉, 가역행렬 임)
     -  E E-1 = In
        

     - 여기서, 기본행렬의 역행렬도 역시 기본행렬이 됨을 알 수 있음

  ㅇ 모든 가역행렬은, 기본행렬 역행렬들의 곱으로 나타낼 수 있음
     -  (E1 E2 E3) A = A (E3-1 E2-1 E1-1) = A E-1 = A A-1 = In

  ㅇ 가역행렬 A을 단위행렬 In으로 만드는 과정을 역으로하면 역행렬 A-1을 얻음
     - E A = In → E In = A-1