System of Linear Equations, Linear Simultaneous Equations   선형 연립 방정식, 연립 선형 방정식, 선형방정식 계, 연립 일차 방정식

1. 선형 연립 방정식 =  선형계  =  선형방정식 계 (System of Linear Equations) 

  ㅇ 선형 방정식들을 유한개 모아놓은 것

  ㅇ n원 일차 연립 방정식 (system of linear equations in n unknowns)
     - 미지수 n개인 일차 방정식을 유한 개 묶어놓은 것
       
        . (a : 계수, b : 상수, x : 미지수)

  ㅇ 한편, 동차 선형 방정식은, (homogeneous linear differential equation)
     - 위 식들에서 우변 상수항이 b = 0 인 특수한 경우를 말함


2. 선형 연립방정식의 표현  :  행렬 및 벡터 표현

  ※ ☞ 행렬방정식(계수행렬,첨가행렬), 벡터방정식 참조
     - 선형연립방정식 해를 풀기위한 모든 정보를 간략한 형태(A x = b)로 나타낸 것


3. 선형 연립방정식의 풀이법

  ㅇ 일반적인 풀이법 형태
     - 소거법 (method of elimination)
        . 적당한 값을 곱한 다음 두 방정식을 빼거나 더하여 미지수를 없애가며 푸는 법  
     - 대입법 (method of substitution)
        . 한 방정식에서 한 변수에 대해 풀고, 그 값을 다른 방정식에 대입하여 푸는 법
     - 등치법 (method of equivalence)
        . 두 방정식을 어느 한 미지수에 관해 풀고, 그것을 같게놓아 푸는 방법
     - 크래머 공식 (Cramer's Rule)
        . 행렬식을 사용하여 각 미지수의 값을 구하는 방법

  ㅇ 표준적인 컴퓨터 풀이법
     - 원래의 계에서 해가 변하지 않도록 유지하면서, 방정식을 적절한 대수연산을 통해,
       해를 구할 수 있는 형태로, 여러차례 간략화시키는 방법을 사용
        . Gauss 소거법 (가우스소거법)
        . Gauss-Jordan 소거법 (가우스 조르단 소거법)

  ㅇ 컴퓨터에 의한 수치 해법
     - LU 분해 등

  ㅇ [참고] (A x = b)의 MATLAB 풀이 방식
     - (left division)  x = A\b   
     - (matrix inversion)  x = inv(A)*b


4. 선형 연립방정식의 해 집합

  ㅇ 선형 연립방정식의 `해 집합 (solution set)`
     - 선형 연립방정식의 모든 해를 모아놓은 집합

  ㅇ 선형 연립방정식의 해 집합에서 형태 구분
     - 하나의 해 만을 갖음 (consistent)
     - 무한히 많은 해를 갖음 (consistent)
        . 여기서, 선형 연립방정식의 `일반해 (general solution)`는,
           .. 선형 연립방정식이 무수히 많은 해를 갖을 때, 
           .. 매개변수에 임의숫자를 넣어 얻을 수 있는 해(매개방정식들의 집합)
     - 해를 갖지 않음 (inconsistent)

  ㅇ 선형 연립방정식의 `동치(equivalent) 관계`
     - 두 연립 방정식이 같은 해 집합을 갖을 때


5. 선형 연립방정식의 행렬방정식 표현

  ㅇ 일반형 선형 연립 방정식 : {# A \; \mathbf{x} = \mathbf{b} #}
     - a = 0, b = 0 인 경우 : 부정인 해 (infinite solution)
     - a = 0, b ≠ 0 인 경우 : 불능인 해 (no solution)
     - a ≠ 0 인 경우 : 유일한 해 (unique solution)

  ㅇ 제차형(동차형) 선형 연립 방정식 : {# A \; \mathbf{x} = \mathbf{0} #}