1. 미분 적분 학 (Calculus)
ㅇ 용어 유래
- `Calculus` : 라틴어, `셈을 하기 위해 쓰이는 조약돌`
ㅇ 다루는 주제 : 변화를 다루는 학문
- 극한,연속성,미분,적분,무한수열,무한급수 등
ㅇ 역사적으로,
- 미분과 적분은 원래 독립적으로 발전되어 오다가,
- 뉴튼과 라이프니츠에 이르러서야, 서로간에 유기적인 관계가 있음이 밝혀짐
. ☆ (둘 다 다른 방식으로, 아래 2.항의 `미분 적분학의 기본 정리`를 도출 함)
- 후에, 코시와 바이어슈트라스에 이르러서는,
. 직관적이지 않은 좀 더 엄격한/엄밀한 정의에 의해 미분 적분학을 발전시킴
ㅇ 출현 이유 : 과거부터 해결하려고 한 문제들
- 곡선에 접선을 그리는 문제 ☞ 기울기, 기울기의 일반화(변화율) 참조
- 함수의 극값(최대값 또는 최소값)을 찾는 문제 ☞ 최적화 문제 참조
- 곡선으로 둘러싸인 넓이를 구하는 문제 등 ☞ 정적분 참조
2. 미분 적분학의 기본정리 (Fundamental Theorem of Calculus)
ㅇ 서로달라 보이는 미분과 적분을 하나의 개념으로 통일시킴
- 미분과 적분이 서로 역 과정(역 연산)이라는 것을 보여줌
. 즉, 함수의 적분으로 표현된 함수를 미분하면 원래 함수(원시 함수)를 얻는다는 것
ㅇ 적분은 미분의 역 과정으로 봄
- 수많은 순간적인 정보들의 합을 구하는 것
. (미분은 순간변화/기울기, 적분은 이들의 합)
- 미분 : 작은 것으로 나눔 (순간화)
. 평균변화율의 극한값 또는 기울기의 극한값을 취함으로써 얻어짐
- 적분 : 작게 나눈 것을 쌓아올림 (합침,더함)
. 구간을 분할하여 특정한 부분합들을 형성한 후에 극한값을 얻으면 넓이가 됨
ㅇ 미적분의 기본 정리
- ① (미적분학의 제 1 기본정리)
. [# F'(x) = f(x) #]
(여기서, F는 f의 원시 함수)
- ② (미적분학의 제 2 기본정리)
. [# \int^b_a F'(s)ds = F(b) - F(a) #]
(여기서, F의 도함수는 적분 가능)
* 결국, 미분과 적분이 서로 상호 작용을 하는 역 관계에 있음