Line Integral   선 적분

1. 다변수 함수에서의 적분 구분

  ㅇ 선 적분(Line Integral)      : 단일 또는 다변수 함수에서 곡선을 따라 취하는 단일 적분
  ㅇ 면적 적분(Surface Integral) : 다변수 함수에서 표면,넓이에 대해 취하는 이중 적분
  ㅇ 체적 적분(Volume Integral)  : 다변수 함수에서 체적에 대해 취하는 삼중 적분

  ※ 여기서, 다변수 함수에 의한 물리량 표현을, 스칼라장 또는 벡터장 이라고도 함


2. 선 적분(Line Integral) 또는 경로 적분(Path Integral)

  ㅇ 평면 또는 공간 내 놓여진 곡선 C를 따라 주어진 함수에 대해 적분하는 것

  ㅇ 선 적분 특징
     - 구간 [a,b]에서 일변수 함수의 적분(정적분)을 하는 것 보다는 복잡함
     - 평면 또는 공간 내 `주어진 곡선`을 따라 `주어진 다변수 함수`에 대해 취하는 적분
     - 따라서, 선택한 경로 마다 선적분 결과값이 다를 수 있음
     - 그러나, 어떤 선택 경로에도 선적분 값이 같으면, => 보존장 이라고 함

  ㅇ 선 적분 구분
     - 스칼라함수의 선 적분 : (개곡선) , (폐곡선) 
     - 벡터함수의 선 적분 : (개곡선) , (폐곡선) 


3. 스칼라함수(스칼라장)의 선 적분

  ㅇ 일변수 선 적분 (일변수) 
     - 즉, 일변수 함수의 정적분 을 말함

  ㅇ 평면 상에서의 선 적분 (이변수)
       
[# \int_C f(x,y)\,ds = 
     \int^b_a f(x(t),y(t)) \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\;dt #]

  ㅇ 공간 상에서의 선 적분 (삼변수)
     - 함수 f(x,y,z) 가 곡선 C 위에서 정의되어 있다면,

     - 우선, 곡선 C를 나타내는 매끄러운 매개변수 방정식을 구하고,
        .  x = x(t), y = y(t), z = z(t)
        .  또는, s(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k (a≤t≤b)

     - 다음과 같이 선적분을 구함
         
[# \int_C f(x,y,z)\,ds = \int^b_a f(x(t),y(t),z(t)) \sqrt{ \left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dz}{dt}\right)^2}\;dt \\
                     \qquad\qquad\qquad = \int^b_a f(x(t),y(t),z(t)) \; | \mathbf{s}(t) | \; dt #]


4. 벡터함수(벡터장)의 선 적분

  ㅇ 평면 상에서의 선 적분
     - 벡터 함수 : F = P(x,y)i + Q(x,y)j
     - 적분 경로 : s(t) = x(t)i + y(t)j (a≤t≤b)
     - 평면 선 적분
         
[# \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = \int_C \left ( P(x,y)\mathbf{i} + Q(x,y)\mathbf{j} \right ) \cdot \left ( dx\mathbf{i} + dy\mathbf{j} \right ) \\
            \qquad\quad  = \int_C \left ( P(x,y)dx + Q(x,y)dy \right ) \\
            \qquad\quad  = \int_a^b \left ( P \frac{dx}{dt} + Q \frac{dy}{dt} \right ) dt #]

  ㅇ 공간 상에서의 선 적분
     - 벡터 함수 : F = P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k
     - 적분 경로 : s(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k (a≤t≤b)
     - 공간 선 적분
         


5. 선 적분의 응용 例)

  ㅇ (스칼라장의 선 적분)
     - 곡선을 따라 놓여있는 불균일한 밀도를 갖는 철사의 총 질량을 구함
     - 다변수 함수가 온도를 나타내면 선적분을 통해 평균 온도를 알아낼 수 있음

  ㅇ (벡터장의 선 적분)
     - 곡선을 따라 물체에 점 마다 달리 작용하는 힘에 의해 수행되는 일을 구함
        . {# W = \int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} #}