1. 레이더 방정식 (방향별)
ㅇ 레이더로부터 거리 R의 전력밀도 (송신 → 표적 : 전력밀도)
- S = PtGt/4πR2 [W/㎡]
. Pt : 송신 전력, Gt : 송신 안테나 이득, 4πR2 : 반경 R인 구(球)의 표면적
ㅇ 표적에서 레이더로 향하는 재복사/반사/산란되는 전력 (표적 → 수신 : 전력)
- Prefl = S σ = (PtGt/4πR2) σ [W]
. σ : 레이더 단면적 (표적 크기, RCS)
ㅇ 표적에서 재복사/반사/산란되어 레이더로 되돌아온 전력밀도 (표적 → 수신 : 전력밀도)
- Sr = Prefl/4πR2 = Sσ/4πR2 = (PtGt/4πR2) (σ/4πR2) = PtGtσ/(4π)2R4 [W/㎡]
ㅇ 수신 안테나에서의 수신 전력 (표적 → 수신 : 전력) (실효개구면적 Ae의 관점)
- Pr = Sr Ae = PtGtAeσ/(4π)2R4 [W]
2. 레이더 방정식 (전체)
ㅇ 즉,
- (수신 전력) = (송신 → 표적 : 전력밀도) x (표적 → 수신 : 전력밀도) x (수신 실효개구면적)
[# P_r = \left( \frac{P_tG_t}{4πR^2} \right) \left( \frac{σ}{4πR^2} \right) A_e #]
- 거리 R 관점에서, [# R^4 = \frac{P_tG_tσA_e}{(4π)^2P_r} #]
- 한편, `안테나 이득`과 `실효개구면적,파장` 간의 관계식 [# G = \frac{4π}{λ^2}A_e #]
에서,
[# P_r = \left( \frac{P_tG_t}{4πR^2} \right) \left( \frac{σ}{4πR^2} \right)
\left( \frac{G_rλ^2}{4π} \right) = \frac{P_tG_tG_rλ^2σ}{(4π)^3R^4} #]
ㅇ 결국, 레이더 전자파의 방사,수신되는 전력,거리 근사 관계식은,
[# P_r = \frac{P_tG_tG_rλ^2σ}{(4π)^3R^4} \quad #]
또는 [# \quad R = \left( \frac{P_tG_tG_rλ^2σ}{(4π)^3P_r} \right)^{\frac{1}{4}} #]
- Pt : 송신 전력 [Watt]
- Pr : 탐지 가능 최소 수신 전력 [Watt]
- λ : 전파 파장 [m]
- R : 표적 거리, 탐지 거리 [m]
- G : 안테나 이득 (G = 4πA/λ)
- Ae : 수신 안테나 실효개구면적 (수신 안테나 크기)
- σ : 목표물 재 산란 단면적 (표적 크기,RCS) [㎡]
- (4π)3 : 구면파의 전파로 인한 감쇠
* [참고] ☞ friis 공식, 레이더 단면적(RCS) 참조
3. 레이더 거리 방정식 (Radar Range Equation, RRE)
ㅇ 레이더 시스템 설계자/분석자가 사용하는, 신호 대 잡음비(SNR) 또는 신호 대 간섭비(SIR) 계산 식
ㅇ 위 2항의 이상적 방정식에, 실제 손실 요소를 추가하여, 현실적인 탐지 성능을 표현하면,
[# \text{SNR} = \frac{P_r}{P_n} = \frac{P_r}{k T_0 B_n \cdot F \cdot L}
= \frac{P_tG_tG_r \lambda^2 \sigma}{(4\pi)^3 R^4 \cdot k T_0 B_n \cdot F \cdot L} #]
- 열 잡음 전력 : (kToBn)
. k : 볼츠만 상수 (1.38 × 10⁻²³ J/K)
. To : 기준 온도 (290 K)
. Bn : 수신기 잡음 대역폭 [Hz]
- 등가 잡음 전력 : (kToBn·F)
. F : 수신기 잡음 지수 (Noise Figure)
.. F = 1 이면, 이상적 수신기 (잡음 추가 없음)
.. F > 1 이면, 수신기 내부에서 잡음이 추가됨
.. 수신기를 거치면서, 잡음이 F배 만큼 증폭,추가되는 것을 반영
- 신호 경로 손실 등으로 인한 SNR 열화 요인 추가 : (kToBn·F·L)
. L : 시스템 총 손실 (L ≥ 1 : 전파 경로손실,대기 감쇠,회로 손실 등)
ㅇ 이를, 최대 탐지 거리 관점에서 재표현하면,
- SNR이, 탐지 판정 임계값 SNRmin 이상이어야 표적 탐지 가능
[# R_{\max} = \left( \frac{P_t G_t G_r \lambda^2 \sigma}{(4\pi)^3 \cdot \text{SNR}_{\min}
\cdot k T_0 B_n \cdot F \cdot L} \right)^{\frac{1}{4}} #]
* R이 4 제곱근에 비례하므로, 탐지 거리를 2배로 늘리려면, 송신 전력을 16배 증가시켜야 함
. 따라서, 안테나 이득 향상 및 손실 저감이 설계상 가장 효율적인 수단
ㅇ 만일, 재밍(Jamming),클러터(Clutter) 환경 포함 시, SIR(신호 대 간섭비)로써 일반화하면,
[# \text{SIR} = \frac{S}{I + N} = \frac{P_t G_t G_r \lambda^2 \sigma / (4\pi)^3 R^4 L}
{P_j G_j \lambda^2 / (4\pi R_j^2)^2 \cdot L_j^{-1} + k T_0 B_n F} #]
- Pj, Gj, Rj : 재머(Jammer)의 송신 전력, 이득, 거리
- 클러터 간섭의 경우 σ 대신 클러터 RCS σc를 별도 산출하여 적용
※ [참고] ☞ S/N 비, 잡음지수, 클러터, 재밍, Friis 공식, 레이더 단면적 참조