1. 귀납적 사고 (Inductive Thinking)
ㅇ 통상, 공식이나 정리를 발견하거나 직관을 얻기위해 사용되지는 않으나,
- 문제의 크기는 다르지만, 동일 성격을 갖는 요소들 간의 관계를 통해 단순화시킴으로써,
- 문제의 파악이나 이해에 도움이 되는 사고 방식
ㅇ 주로, 부분적인 사실들로부터 전체를 추론해 보는 방식에 폭넓게 응용 가능
- 관찰과 실험을 통해 얻어진 부분적이고 특수한 사례를 근거로,
- 이를 전체에 적용시키는 이른바 '귀납적 비약'을 통해 이루어짐
※ 위대한 과학자들의 사유 방법 : 단순성의 원칙
- 복잡한 현상을 단순한 기본 개념/관계로 되돌리며,
. 즉, 귀납(歸納)시키려는 시도를 하곤 함
* 한편, 귀납적 분류 이란?
. 자연 현상을 몇가지의 단순한 분류로 귀납시키려는 것
2. 수학적 귀납법 (Mathematical Induction) 이란?
ㅇ 매우 중요한 수학적 기초
- 증명의 한 가지 방법으로 이용되고 있음
ㅇ [수학적 귀납법의 역사]
- 최초 엄밀한 증명 사례 : 1575년 Francesco Maurolico
- 최초 용어 사용 : 1838년 Augustus De Morgan
ㅇ [수학적 귀납법의 활용]
- 어떤 결과를 증명하는데 사용되는 유용한 증명 방법 중 하나
- 개별 사실들을 기초(증거)로 하여, 일반 결론을 끌어내는 논증 방법
3. 수학적 귀납법의 논증 구성,방법,사용예
ㅇ 개요
- 특정 명제들이 참 이라는 사실로부터,
- 일련의 명제들이 참 임을 밝혀(일반 결론을 추론해)내는 증명법
ㅇ 증명 구성
- 귀납 가정(induction hypothesis) : 임의의 k에 대해 P(k)가 참이라는 가정
- 귀납 기초(induction base,basis step) : P(1)이 참임을 증명
- 귀납 절차(induction step) : P(k)가 참일 때, P(k+1)도 참임을 보이는 증명
ㅇ 증명 방법
- 두 단계(귀납기초,귀납절차)의 증명을 차례로 완성함
. ① P(1)이 참 임을 증명
. ② 모든 임의 k(k≥1)에 대하여, P(k) ⇒ P(k+1)이 참(true) 임을 증명
.. 즉, 임의 k에 대해 P(k)가 참이라 가정하고,
.. 이 가정하에 P(k+1)도 참임을 보이면 증명 끝
ㅇ 사용 例
- 급수 공식, 항등식, 부등식, 알고리즘 효율성 등을 증명하는데 쓰임
- 또한, 수열을 재귀적으로 정의할 때, 이 수열을 귀납법으로 증명할 수 있음 등