PID   PID Controller, Proportional Integral Derivative Controller   PID 제어기

1. PID 제어기 (Proportional Integral Derivative Controller)

  ㅇ 비례(P),적분(I),미분(D) 동작이 선형적으로 결합된 피드백 제어기
      
[# u(t) = K_p e(t) + K_i \int_0^t e(\tau)d\tau + K_d \frac{de(t)}{dt} #]
     - 제어 대상의 동특성 변화와 외란에 대응하여, 정상오차를 최소화하고 안정적 제어를 달성하는,
     - 가장 대표적인 제어기임

  ㅇ (배경)
     - 1940년대 산업 제어 현장에서 경험적으로 확립된 이래,
     - 근궤적법, 주파수응답법 등에 기반해, 이득 조정 및 안정도 분석이 체계화됨
     - 현재 대부분의 실무 제어 시스템에서 사용됨   


2. PID 제어기의 동작 형태별 구성요소

  ㅇ 비례 동작 (비례 제어), 비례 제어기 (Proportional Controller)
     - 제어기 출력이 입력 오차 크기에 상수 비례  =>  {#K_pe(t)#}  => 현재 중시 (즉응성)
        . 이득 Kp 증가 시, 시스템 응답이 빨라지지만, 너무 크면 오버슈트 및 불안정 유발
        . 단독 사용 시 정상오차가 남게됨
           

     * 속응성 및 단순 비례 등 구현 용이
        . 비례 이득 만을 사용한 종속 보상기
           .. 성능상의 문제로 단독으로는 거의 사용 않고, 미분 제어기,적분 제어기와 함께 사용됨

  ㅇ 적분 동작, 적분 제어기 (Integral Controller)
     - 과거에서 현재까지의 오차 누적에 비례  =>  {#K_i\int^t_0e(τ)dτ#}  => 과거 중시 (계속성)
        . 정상오차를 완전히 제거함
        . 단, 응답 속도 느려지고 진동 가능성이 커짐 → 시스템의 위상 여유 감소
           

     * 일정 입력 및 외란에서 정상오차를 제거하는 효과
        . 오차가 영이 될 때까지 제어 입력을 계속 유지하면 됨
     
  ㅇ 미분 동작, 미분 제어기 (Derivative Controller,Rate Controller)
     - 오차의 증가,감소 변화율에 비례  =>  {#K_d\,de(t)/dt#}  => 미래 중시 (예견성)
        . 시스템의 예측 제어 역할 → 과도응답 개선, 감쇠 증가, 안정도 향상
        . 잡음에 민감하므로, 실제 구현 시에, 저역통과필터와 함께 사용됨
           

     * 안정도 개선 및 좋은 동적 응답(과도응답 속도↑,오버슈트↓)을 주는 효과
        . 시스템 잡음 성분이 있으면, 미분 값이 커지므로, 단독으로는 쓰이지 않음

  ※ [요약 비교]  (범례  :  ① 비례 제어,  ② 적분 제어,  ③ 미분 제어)
     - 제어 형태  :  ① {#K_pe(t)#},  ② {#K_i\int^t_0e(τ)dτ#},  ③ {#K_d\,de(t)/dt#}
     - 제어기 출력 기여  :  ① 현재 오차에 비례,  ② 누적 오차에 비례,  ③ 오차 변화율에 비례
     - 제어 특성  :  ① 즉응성 (현재 중심),  ② 과거 중심 (지속성),  ③ 미래 중심 (예측성)
     - 주요 효과  :  ① 빠른 응답, 단순 구현,  ② 정상오차 제거,   ③ 과도응답 개선,오버슈트 감소


3. 표준형 PID 제어기의 블록선도 및 수식

  ㅇ 블록선도
     

  ㅇ 시간영역
      
[# u(t) = K_pe(t) + K_i\int^t_0e(τ)dτ + K_d\frac{de(t)}{dt} \\
         \qquad = K_p \left[ 1 + \frac{1}{T_i}\int^t_0e(τ)dτ + T_d\frac{de(t)}{dt} \right] #]
     - Kp : 비례 이득, Ki : 적분 이득, Kd : 미분 이득
     - e(t) : 오차

  ㅇ 주파수영역
      
[# U(s) = \left( K_p + \frac{K_i}{s} + K_ds \right)E(s) \\
         \qquad = K_p \left( 1 + \frac{1}{T_is} + T_ds \right)E(s) #]
     - Ti : 적분 시간, Td : 미분 시간
     * 이를통해, PID 제어기의 전달함수는, {#G_c(s) = K_p\left(1 + \frac{1}{T_i s} + T_d s\right)#}


4. PID 제어기의 제어이론

  ㅇ 루프 전달함수  :  {#G(s)=G_c(s) G_p(s)=K_p\left(1 + \frac{1}{T_i s} + T_d s\right)G_p(s)#}
  ㅇ 루프 안정도 분석  :  근궤적법, 나이퀴스트 선도, 보드 선도 등을 통해 안정도,응답특성 조정
  ㅇ 폐루프 전달함수  :  {#\frac{Y(s)}{R(s)} = \frac{G_c(s)G_p(s)}{1 + G_c(s)G_p(s)}#}
  ㅇ 파라미터 조정  :  Kp,Ti,Td를 조정하여 이득여유,위상여유 최적화
  ㅇ 제어 성능 평가 지표  :  정상상태 오차(ess), 상승시간(tr), 오버슈트(Mp), 정착시간(ts)