Root Locus, Root Loci   근 궤적

1. 근궤적 (Root Locus)

  ㅇ 시스템 파라미터 변화에 따른, 폐루프 전달함수의 극점의 위치 변화
     - 폐루프 전달함수 : T(s) = C(s)/R(s) = G(s) / [1 + G(s)H(s)]
        . 1 + G(s)H(s) = 0  : 특성방정식 (Characteristic Equation)

  ㅇ 특히, 극점의 위치 변화는, 시스템의 과도응답 특성 및 안정성에 영향을 줌
     - 극점 위치가 영향주는 例) 오버슈트, 상승시간, 정착시간 등

  ※ W.R. Evans에 의해 1948년 소개되고, 1952년경 확립된 제어시스템의 해석 및 설계 방법


2. 근궤적이 필요한 사유

  ㅇ 폐루프 제어계는, 이득 파라미터 K 변화가 특성방정식 내에 포함되어 해석이 어려워짐
  ㅇ 따라서, 파라미터 변화에 따른 특성방정식 근의 동작(궤적)을 도해적(직관적)으로 알고 싶음
  ㅇ 한편, 1 이상의 계수 파라미터의 변화에 따른 대수방정식의 근의 성질을 파악하는데도 유용


3. 근궤적 특징

  ㅇ 시간영역에서, `과도응답` 및 `안정도`에 대한 정보를 도해적으로 보여줌
     - 근궤적을 따라가며 이득 변화 등에 따른 과도응답의 특성 변화를 추적 가능 

  ㅇ 시스템 파라미터 변화에 따른 폐루프 전달함수 극점 위치를 도해적 방법으로 파악함
     - 극점 변화 궤적을 통한 정성적 시각적 해석 및 설계 가능
        . 시스템 파라미터(이득) 변화에 따른 폐루프 전달함수 극점의 변화 추적 가능
           .. 즉, 제어시스템의 성능(과도응답,안정도 영향)의 정성적 설명 및 정량적 확인

  ㅇ 2차 이상의 고차 시스템에서도 적용 가능
     - 2차 이상일 때 복소평면 상에서 극점들이 변하며 지나는 길이 한정되어 짐


4. 근궤적 작도를 위한 조건 찾기

     
  
  ㅇ 폐루프 전달함수  

  ㅇ 특성방정식을 만족하는 근궤적 찾기
     -  1 + K G(s)H(s) = 0  또는  K G(s)H(s) = -1  또는  G(s)H(s) = -1/K
        . 이득 파라미터 K 값이 0 ~ ∞ 으로 변할 때,
        . 특성방정식의 근이 복소평면에 그리는 그림이 근궤적이 됨
        . 즉, 대수방정식 F(s) = P(s) + K Q(s) = 0 의 근이 그리는 궤적

  ㅇ 근궤적 작도를 위한 조건
     


5. 근궤적 개략적 그리기 및 성질

  ※ ☞ 근궤적 작도법 참조
     - K가 0 ~ +∞ 로 변할 때, `개루프 전달함수 KG(s)H(s)의 극점,영점`과 `폐루프 전달함수
       1 + KG(s)H(s)의 극점`들을 관련시킨 근의 궤적 그리기 및 그 작도를 특징짓는 주요 성질


6. 파라미터 수에 따른 근궤적 구분

  ㅇ 근궤적 (Root Loci) 
     -  1개 시스템 파라미터 K가 0 ~ ∞ 변하면서 극점들이 움직인 자취

  ㅇ 근 콘투어 (Root Contour)
     -  1 이상의 파라미터를 변화시킬 때의 근궤적


7. 근궤적 설계                                              ☞ 극점 배치 참조

  ㅇ 근궤적을 통한 극점 위치 선정
     - 이득 등 파라미터 변화로 특성방정식 극점 위치를 원하는 위치로 이동시켜,
     - 과도응답 설계조건을 만족하는 적당한 루프이득을 갖도록 할 수 있음

  ㅇ 과도응답 개선
     - 이득 변화로는 얻을 수 없는 원하는 극점 위치를, 
     - 다른 파라미터 변화 또는 제어기 추가 삽입 등에 의해 달성토록 설계에 반영도 가능