Boltzmann Distribution, Boltzmann Equation   볼츠만 분포, 볼츠만 방정식, 볼츠만 관계식

1. 볼츠만 분포

  ㅇ 평형 계에서 분배될 때 확률적으로 가장 가능성 높은 분포 (최빈 분포)
     - 이 때의 분포가 계의 열역학적 성질들을 결정하게됨

  ※ Ludwig Boltzman (1844~1906) : 오스트리아의 물리 학자 (통계역학의 기초를 확립)
     - 엔트로피를 분자 수준에서 설명하는 등 (1877년)
        . `분자 수준의 엔트로피`와 `거시적 상태의 열역학적 확률` 사이의 함수 관계


2. 볼츠만 분포의 표현

  ※ 맥스웰볼츠만분포에서 `지수함수적 의존 관계성`을 두드러지게 나타낸 표현

  ㅇ 지수함수적 비례 표현
     - 에너지 상태 Ei를 점유할 최대 확률 입자 수 Ni의 분포가 e-βEi에 비례
       
        . Ni    : 에너지상태 Ei에 있는 입자수
        . T     : 열역학적 온도
        . k     : 볼츠만 상수, 1.38x10-23 [J/K]  (β = 1/kT)
        . e-βEi : 볼츠만 인자

  ㅇ 분율 표현
     - 이산적 표현
       
        . N : 총 입자 수 
        . Z : 볼츠만 분배함수
        .  : 볼츠만 인자

     - 연속적 표현
       

  ㅇ 응용 표현 (두 에너지 상태 간 입자수의 비율)
     - 상대적인 분율이 에너지 차이에 따라 지수적으로 감소
        . 에너지 상태 Ei과 Ej에 있는 입자들의 수(Ni,Nj)에 대한 比
         


3. 볼츠만 분포 상의 의미/의의

  ㅇ 수학적 의존성 => 지수함수적 의존성을 갖음

  ㅇ 에너지 상태 및 점유 입자수 관계 => 에너지가 높은 상태일수록 점유 입자수는 적음
     - 온도가 높아지면 그만큼 높은 에너지 상태들이 더 많이 점유됨

  ㅇ 에너지 차 및 점유 확률 간의 관계 => 에너지 차이 Ei-Ej가 증가하면, 점유 확률 감소
     - 열 에너지 kT 가 증가하면, 점유 확률 증가
     - 에너지준위들이 kT에 비해 가까이 근접할때, 더 많은 에너지준위들이 점유됨

  ㅇ 주요 파라미터 => 열역학적 온도
     - `열역학적 온도`가,
     - 열평형 상태에 있는 계의 상태들에 대한 점유 입자수 분포를 결정하는 유일한 파라미터 임

  ㅇ 예측성
     - 열적평형 상태에 있는 계의 상태들의 점유수 분포를 예측할 수 있음
        . 단, 비교적 멀리 떨어져 있어 상호 작용하지 않는 서로 독립된 입자들의 분포 임


4. 볼츠만 식, 볼츠만 방정식 (볼츠만 엔트로피 식, Boltzman Entropy Formula)

  ㅇ  S = k ln W 또는 k ln ND(N,V,E)
     - 어떤 계에 있는 미소 상태 수(W)와 엔트로피(S) 간의 관계를 간단명료하게 보여줌
        . 미소 상태(Microscopic State)의 수 W 이란?
           .. 매우 많은 입자들이 취할 수 있는 특정 미시적 배열의 열역학적 상태 수 
           .. 일반적으로 W는 매우 큰 수
           .. 온도가 증가할수록,부피가 커질수록,분자 수가 클수록, 미소 상태 수도 커짐
        . 따라서, 볼츠만 식은 거시적 상태량인 엔트로피가 매우 많은 미소 상태들과
                  어떻게 대응되는 가를 보여줌
     - k : 볼츠만 상수 (1.38 x 10-23 [J/K])