Helmholtz Equation   헬름홀츠 방정식, 헬름홀츠 파동방정식

1. 헬름홀츠 방정식 (Helmholtz Equation) 또는 헬름홀츠 파동방정식

  ㅇ 파동 방정식에서 시간과는 독립적이게하고, 공간에 대한 풀이로 만 관련시킨 편 미분방정식

     - 가정
        . 시간에 대해서는 단순조화운동(simple harmonic)으로 가정 ☞ 시정현파계 참조

     - 방정식 표현
        . 시간 변수를 줄이고 공간 변수 만으로 표현  :  {# \nabla^2 φ + k^2 φ = 0 #}
           .. 여기서, 함수 {#φ#}는 시간과는 무관한 공간 변수 만 관련된 함수
           .. 例) 정상상태 하의 정현파로써, (시변 정현파 계)
                  전계 Es, 자계 Hs 등

  ㅇ 보통 페이저를 이용하여 취급함

  ※ 헬름홀츠(Hermann von Helmholtz,1821~1894), 독일의 생리학,물리학자


2. 헬름홀츠 방정식의 1차원 해 형태 

  ㅇ 시간 미 고려하면,
      
[# φ(z) = φ^+_o e^{-jkz} + φ^-_o e^{jkz}#]

  ㅇ 한편, 시간 고려하면,
      
[# φ(z,t) = φ^+_o \cos (ωt-kz) + φ^-_o \cos (ωt+kz) #]


3. 맥스웰 표준 파동방정식의 공간변수 만에 의한 헬름홀츠방정식 표현 

   
[# \begin{array}{l}
        \nabla^2 E_z + k^2 E_z = 0 & \qquad\quad & \nabla^2 E_z + ω^2με E_z = 0 \\
        \nabla^2 H_z + k^2 H_z = 0 &             & \nabla^2 H_z + ω^2με H_z = 0
      \end{array} #]

  ㅇ 여기서, 전파상수  :  {# k = ω\sqrt{με} #}
     - 파동이 진행하며 만나는 매질을 특징짓는 특성量