Mason Gain Formula   메이슨 이득 공식, 메이슨 공식

1. 메이슨 이득 공식 (Mason's Gain Formula)

  ㅇ 시스템 내 변수 간의 관계를 나타낸 `신호흐름선도`로부터,
     - 전체 `전달함수(이득)`를 구하는 공식 
        . 여러 순방향 경로와 귀환 루프가 복잡하게 얽힌 경우에 편리

  ㅇ (표현식)
     
[#G(s) = \frac{C(s)}{R(s)} = \frac{X_{out}(s)}{X_{in}(s)} = \sum^N_{k=1} \frac{T_kΔ_K}{Δ}#]
     - N : 순방향 경로(Forward Path)의 총 수
     - k : K번째 순방향 경로
     - Tk : k번째 순방향 경로 내 모든 가지 이득의 곱 (Forward Path Gain)
     - △ : 개별 및 비접촉 루프 이득의 조합으로 계산되는 값
        . △ = 1 - ∑(개별 루프 이득) + ∑(서로 비접촉인 두 루프 이득의 곱)
                - ∑(서로 비접촉인 세 루프 이득의 곱) + ...
           .. 부호가, 1 → 개별 루프 → 비접촉 루프 2개 → 비접촉 루프 3개 → ... 순서로,
           .. +,-,+,-,... 처럼 교대
     - △k : k번째 순방향 경로와 접촉하지 않은 루프의 △ 값
        . 또는, △k = △ - ∑(k번째 순방향 경로와 접촉하는 △에 있는 루프이득 항)

     * 비 접촉 루프 (Nontouching Loop) : 서로 공유하는 마디를 갖지않는 루프
        . 루프(폐로) 간에 서로 접촉 않는 루프(폐로)


2. 메이슨 이득 공식 적용 例)

  ㅇ 순방향 4개(T1~T4), 귀환루프 2개인 경우
     

  ㅇ (관찰)
     - 순방향 경로 이득 (개로) 4개 : T1(abcdef), T2(agdef), T3(agjf), T4(abcjf)
     - 개별 루프 이득 (폐로) 2개 : i, cdh

  ㅇ 주요 항목 도출
     - N = 4 
     - T1 = abcdef, T2 = agdef, T3 = agjf, T4 = abcjf
     - Δ = 1 - (i + cdh)
     - Δ1 = 1, Δ2 = 1 - i, Δ3 = 1 - i, Δ4 = 1
     - ∑Tk△k = [abcdef + agdef(1-i) + agjf(1-i) + abcjf]
     - G(s) = [abcdef + agdef(1-i) + agjf(1-i) + abcjf] / [1 - (i + cdh)]


3. 메이슨 공식의 계산 절차

  ① 순방향 경로(Tk)를 모두 찾는다
  ② 모든 루프(폐로)를 찾는다
  ③ △를 계산한다
  ④ 각 △k를 계산한다
  ⑤ 최종 대입
    
[# G = \frac{T_1△_1 + T_2△_2 + \cdots + T_N△_N}{△} #]