1. 대칭 군 (Symmetric Group) 이란?
ㅇ 치환 (Permutation)
- 의미 : 순서 있는 집합의 원소들을 새로운 순서로 바꿔보는(섞어보는,재배열하는) 것
. 例) {1, 2, 3} → {2, 1, 3} 등
- 치환의 정의 :
. 자신의 집합 위에서 자기자신으로 사상되는 전단사함수 (bijection)
- 치환하는 경우의 수 :
. 크기가 n인 집합의 원소를 모든 가능한 순서로 재배열하는 경우의 수는, n!
. 즉, n개 원소 집합의 치환의 전체 개수는, {# {_nP_n} = n! #}
ㅇ 치환 군 (Permutation Group)
- 의미 : 특정 집합 위의 모든 치환으로 이루어진 군
- 치환 군의 정의 :
. 집합 위에서 자기자신으로 사상되는 전단사 함수들로 구성된 군
- 치환 군의 군 구조:
. 치환들의 집합은 합성 함수 연산에 대해 군의 성질을 만족함.
.. 닫힘성 : 두 치환의 합성은 항상 다른 치환이 됨
.. 단위원 존재 : 항등 치환(identity permutation)이 존재함
.. 역원 존재 : 각 치환은 항상 그 역치환(inverse)을 가짐
.. 결합 법칙 : 치환의 합성 연산은 결합 법칙을 만족
- 용도 : 치환 군은 대칭성을 연구하거나, 군론에서 다른 군들을 구성하는 데 유용
ㅇ 대칭 군 (Symmetric Group)
- 의미 :
. 크기가 n인 집합의 모든 치환으로 구성된 군
. 이는 n개 원소 집합의 모든 전단사 함수로 이루어진 군을 의미함
- 표기 : 대칭군은 보통 Sn로 표기됨
. 보통, Sn으로 표기하며,
. 이는, n개 원소 집합의 대칭군을 나타냄
- 대칭군의 부분군 :
. 대칭군의 부분군은, 특정 대칭 조건을 만족하는 치환들의 군으로,
. 이들 부분군은, 특정 구조적 성질을 연구하는 데 사용됨
- 대칭군의 위수 :
. n개 원소 집합으로 만들어지는 치환의 개수는, 모두 n!개이므로,
. 대칭군 Sn의 위수(군에 속한 원소의 총 개수)는, n! 임
ㅇ 대칭군의 성질과 중요성
- 대칭성과 풀이가능성(가해성,Solvability) :
. 대칭군은 방정식의 해의 존재 가능성과 직접적으로 관련됨
.. S4 이하의 대칭군은, 가해군 (Solvable Group)
.. S5 이상의 대칭군은 비가해군 (Non-Solvable Group)
. 따라서,
.. 4차 이하의 다항 방정식은, 일반 해법이 존재하지만,
.. 5차 이상의 다항 방정식은 일반 해법이 없음이 군론적으로 증명됨 (갈루아 이론)
- 대칭군과 대수학
. 대칭군은, 군론의 연구에서 기본적인 역할을 하며,
. 특히, 갈루아 이론에서 다항 방정식의 대칭성을 연구하는 데 핵심적임
- 기타 응용 :
. 대칭군은 화학,물리학,컴퓨터과학(예: 암호학, 알고리즘 최적화) 등 다양한 학문에서,
대칭성 분석과 관련된 문제를 해결하는 데 사용됨