Interpolation   보간법, 보간, 補間, 내삽법

1. 보간법 (Interpolation)

  ㅇ 주어진 데이터점들(기지점)에 대해,
     - 이들을 모두 지나는 유일한 다항식을 구하고,
     - 이 다항식을 이용하여, 미지점들을 찾아가는(추정하는) 기법

  ㅇ 즉, 주변의 이미 알려진 값들로부터, 
     - 보간 함수(보간 다항식)를 찾아내고, 
     - 이를 이용하여 미지값들을 추정하게 됨

  ㅇ 보간법은, 일종의 근사(Approximation) 값 계산법 이론 임


2. 보간법 구분

  ㅇ 미지점이 구간 내,외 어느 곳이냐에 따라 
     - 내삽법 (interpolation) : 기지값으로부터 구간 사이 미지점을 구하는 법
     - 외삽법 (extrapolation) : 기지값으로부터 구간 밖의 미지점을 구하는 법

  ㅇ 보간법 종류

     - 다항식 보간법(Polynomial Interpolation)
        . 전 구간에서, 모든 데이터점을 지나는 단 하나의 다항식을 구하는 방법
           .. (n+1)개의 점을 지나는 다항식은, n차 이하의 다항식으로 표시 가능

        . 저차 보간 다항식 
           .. 1차 보간법 (선형 보간법) : 두 점을 직선 연결하여 새로운 점의 값을 추정
           .. 2차 보간법 등

        . 고차 보간 다항식에 의한 일반화
           .. 미정계수법 : 각 점에 대한 연립방정식을 구성하고, 이를 행렬식으로 풀어, 계수를 구함
           .. Lagrange 보간법 : 라그랑주 기저 함수를 사용
           .. Newton 보간법 : 분할 차분을 재귀적으로 사용하는 방법
           .. Hermite 보간법 등

     - 스플라인 보간법 = 구간별 다항식 보간법 = 구간적 보간법
        . 구간을 나눈 소구간별로, 정해진 차수의 다항식으로 매끄러운 함수들을 구하는 방법
           .. 3차 스플라인 보간법
           .. B-스플라인 보간법

     * 사실상, 주어진 점들을 지나는 (더 간단한) 다항식을 가정하고, 그 계수를 찾아서,
       결과적인 다항식으로부터 미지점을 구하는(추정하는) 방법임


3. 신호처리,영상처리 분야에서의 보간법 활용

  ㅇ 이산 샘플 값들 사이에 빠진 빈 값들을, 
     - 부드러운 곡선으로 채워주기 위해,
     - 기지 값들로부터 미지 값(또는 미지 함수)을 구할 때 사용됨
        . 사용 例) 이산시간신호의 시간척도조절 등

  ㅇ 영상처리분야 보간법 구분
     - 가장 인접한 이웃 화소 보간법 (nearest neighbor interpolation)
     - 양 선형 보간법 (bilinear interpolation)
     - 고차 보간법
        . 3차원 콘볼루선 보간법 (cubic convolution interpolation)
        . B-스플라인 보간법 (B-spline interpolation)