Linear Interpolation   선형 보간법

1. 선형 보간법 이란?

  ㅇ 주어진 두 점(기지점)을 이은 직선 방정식을 보간 함수(근사 함수)로 하여 미지점을 찾음(추정)
     - 각 점을 직선으로 연결하여, 마치 연속된 곡선으로 간주하며, 이를 수치해석에 적용하는 방법


2. 선형 보간법에 의한, 보간함수(직선식) 및 보간점(함수값) 추정 방법

  ㅇ 2개 점을 지나는 직선 식으로써, 보간함수(직선 방정식)를 구함
     - 두 점을 지나는 직선 방정식 형태는,  {# f_1(x) = a_0 + a_1 x #}
        . {#a_0#}(초기점),{#a_1#}(기울기)는, 선형 보간법에서 결정되어야 할 미지의 상수
     - 두 점이 주어지면,  {# (x_0,y_0), (x_1,y_1) #}
          
[# f_1(x_0) = a_0 + a_1 x_0 = y_0 \quad f_1(x_1) = a_0 + a_1 x_1 = y_1 \\
             a_0 = \frac{x_1y_0 - x_0y_1}{x_1 - x_0} \quad a_1 = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} #]
  
     - 다음과 같이, 여러 직선 방정식 형태로 표현 가능
          
[# f_1(x) = \frac{x_1y_0 - x_0y_1}{x_1 - x_0} + \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0}x \\
             f_1(x) = y_0 + \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}(x-x_0)  \\
             f_1(x) = y_0 + \frac{x-x_0}{x_1-x_0}(y_1-y_0)  \\
             f_1(x) = \frac{x-x_1}{x_0-x_1}y_0 + \frac{x-x_1}{x_1-x_0}y_1 \\
             f_1(x) = \frac{(x_1-x)y_0+(x-x_0)y_1}{x_1-x_0} #]

  ㅇ 원하는 특정 보간점(함수값)을 구하려면,
     - 통상, 주어진 점들(2개점을 지나는 직선)로부터, {#a_0#}(초기점),{#a_1#}(기울기)를 정하고, 
     - 이로부터, 직선 방정식 {# f_1(x) = a_0 + a_1 x #}를 구하고,
     - 점 {#x_i#}을 {#f_1(x_i)#}에 대입하여, 원하는 보간점(함수값)을 얻어냄