1. 근 구하기 이란?
ㅇ 방정식 f(x) = 0 을 만족하는 x의 수치 값을 찾는 것
- x축과 f(x)가 그리는 선과 만나는 점을 구함
ㅇ 수치해법에서, 근 구하기는 (locating roots),
- 주로, 방정식의 근사적인 근(根)/해(解)를,
- 반복적으로 찾아가는 수치해법을 말함
ㅇ 한편, 최적화 문제에서도, 최적점을 찾는데 (locating optima),
- 근 구하기 처럼, 근사적이고 반복적인 방법을 사용함
2. 근 구하기의 풀이 과정
ㅇ 해석적이 아닌, `근사적`이고 `반복적인` 과정을 통해, 다음과 같이 구함
- ① 우선, 근이 존재할 (구간,점 등)을 추측 함
. [참고] 근의 존재여부 판단을 위한 이론적 근거로는, ☞ 중간값 정리, 평균값 정리 등 참조
- ② 그곳으로부터, 실제 근의 위치를, 근사적이고 반복적인 방법으로, 찾아 냄
3. 근 구하기의 수치해법 종류
ㅇ 그림(그래픽)를 이용하는 방법
ㅇ 구간법, 괄호법 (Bracketing Method)
* 근이 존재할 만한 구간을, 반복적으로 좁혀가며, 근을 추정해 감
. 정해진 폐구간 [a, b] 사이에서, 반복적으로 구간을 좁히며, 해를 찾는 방법
. 구간의 양끝을 나타내는 2개의 초기 가정값 사용
. 수렴성 보장되나, 수렴속도 늦음
- 증분 탐색법, 증분법 (Incremental Search Method)
. 근이 존재하리라고 추측되는 적당한 구간을 적당한 간격으로 분할한 뒤,
. 그 일련의 분할점을 순차적으로 대입해가며 함수값의 부호가 바뀌면,
. 그 분할간격에 근이 존재함 여부를 알 수 있는 매우 단순한 방법
- 이분법 (Bisection Method)
. 근이 원하는 정확도 범위 내에 이르기까지, 구간을 절반으로 줄여가는 과정을 반복
.. 범위가 정해져 있는 구간을 반으로 나눠,
.. 함수 부호가 바뀌는 소구간이 다음 반복을 위한 새 구간이 됨
. 주어진 간격에서, c=(a+b)/2를 이용하여, 함수값 계산
- 가점법, 가위치법 (False Position Method, Regula Falsi Method)
. 이분법을 수정한 형태로써, 주어진 구간의 폭을 반복적으로 좁히면서,
. 새롭게 설정된 구간의 끝 점들을 직선으로 연결하여, 그 절편의 위치를 결정하면서,
. 그 다음 근을 추정해 가는 방법
ㅇ 개방법 (Open Method)
* 임의 선택점에서 점차 근을 유추해나감
. 특정한 구간 없이, 1개 특정점(초기값)에서 시작하여, 점차 근을 유추하는 반복법
. 가까운 값을 차례로 되풀이해서 점차 가깝게 구해 나가는 법
. 수렴 속도는, 구간법 보다 빠르게 근에 수렴해 감
. 그러나, 수렴성이 항상 보장되지는 않음
- (1점법) 고정점 반복법 (Fixed-Point Method)
. f(x) = 0 형태를 x = g(x) 형태로 바꾸고,
. 초기 추정값 x0로부터 시작하여, 이를 x = g(x)에 대입하여, 새로운 x1을 구하며,
. 점차 근사값으로 접근해 가는 방법
- (1점법) 뉴튼법 (Newton's Method) 또는 뉴튼 래프슨 법 (Newton-Raphson Method)
. 미분을 이용한 접선으로, 수렴해 가며 근을 찾아가는 방법
. 초기 근사값 x0를 알고 있을 때,
. 점(x0,f(x0))에서, y = f(x)의 접선이 x축과 만나는 점을,
. 새로운 근사해로 삼으며, 이를 반복해서 구하는 방법
- (2점법) 할선법 (Secant Method)
. 접선으로 함수를 근사시키는 뉴턴법을 이용하여 근을 구하지만,
. 굳이 1차 도함수를 계산할 필요 없음
. 처음부터 2개의 초기점 필요
ㅇ 인수법 등