Step Function, Step Signal, Heaviside Function   계단 함수, 계단 신호

1. 계단 함수/신호 (Step Function,Step Signal, 또는 Heaviside Function)

  ㅇ (연속시스템)
     - 단위 계단 함수 (Unit Step Function) : u(t)
        .  u(t) = 1  (t ≥ 0),  u(t) = 0  (t ＜ 0)
        
        . (응용 수학에서, u(0) 값은 0,1,1/2 등 상관 않고, 다만 큰 폭의 값 변화 만 있으면 됨)

  ㅇ (이산시스템)
     - 단위 계단 수열 (Unit Step Sequence) : u[n]
        .  u[n] = 1  (n ≥ 0),  u[n] = 0  (n < 0)
        

  ㅇ 전통적인 수학에서는, `Heaviside Function` 이라고도 함 : H(x), θ(x), u(x)
     -  0 (x < 0), 1 (x > 0), 1/2 (x = 0) 즉, u(0) = 1/2


2. 단위 계단 수열, 임펄스 수열 간의 관계

  ㅇ 임펄스 수열은, 단위 계단 수열의 `일차 후진 차분(first backward difference)`
     으로 표현 가능
        
[# δ[n] = u[n] - u[n-1] #]

  ㅇ 단위 계단 수열은, n 이전의 모든 임펄스 수열들의 합으로 표현 가능
        
[# u[n] = \sum^n_{k=-\infty} δ[k] #]

  ㅇ 단위 계단 수열은, 지연된 임펄스 수열들의 합으로도 표현 가능
        
[# u[n] = \sum^{\infty}_{k=0} δ[n-k] #]


3. 계단 함수, 임펄스 함수, 구형파 함수, 램프 함수, 포물선 함수 간의 관계

  ㅇ 임펄스 함수의 적분 => 계단 함수  :  
[# u(t) = \int^t_{-\infty} δ(λ)dλ #]
  ㅇ 계단 함수의 미분 => 임펄스 함수  :  
[# δ(t) = \frac{du(t)}{dt} #]
  ㅇ 구형파 함수의 정의 => 계단 함수로 가능  :  
[# \Pi(t) = u(t+\textstyle\frac{1}{2}) - u(t-\textstyle\frac{1}{2}) #]
  ㅇ 계단 함수의 적분 => 램프 함수  :  
[# \int^t_0 u(t)dt = t #]
  ㅇ 램프 함수의 적분 => 포물선 함수  :  
[# \int^t_0 tdt = \frac{t^2}{2} #]
     - 즉, 계단 함수를 두 번 연거푸 적분하면, 포물선 함수가 됨


4. 계단함수에 의한 시스템응답

  ※ ☞ 단위 계단 응답 참조