Gauss Prabability Process, Gaussian Random Process   가우스 확률과정, 가우시안 랜덤과정

1. 가우스 확률과정

  ㅇ 어떠한 n개의 임의 시간 t1,t2,...,tn에서, 랜덤변수 X(t1),X(t2),...,X(tn)들이, 
     결합적 가우시안 분포(Jointly Gaussian)를 갖을 때, 이를 가우시안 확률과정이라고 함


2. 가우스 확률과정 특징

  ㅇ 가우스 확률과정의 선형 연산은 또다른 가우스 확률과정이됨

  ㅇ 2개 랜덤변수(X,Y)에 대한 결합 가우시안 확률밀도함수(PDF)
      
[# f_{XY}(x,y) = \frac{1}{2π\,σ_Xσ_Y\sqrt{1-ρ^2}} 
          \; \exp \left\{ -\frac{1}{2(1-ρ^2)}
              \left[ \left( \frac{x-μ_X}{σ_X} \right)^2 - \frac{2ρ(x-μ_X)(y-μ_Y)}{σ_Xσ_Y}
                     + \left( \frac{y-μ_Y}{σ_Y} \right)^2 \right] \right\} #]
     - 여기서, μ : 기대값(평균), σ2 : 분산, ρ : 상관계수
        
[# μ_X = E[X],\; μ_Y = E[Y],\; σ^2_X = E[(X-μ_X)^2],\; σ^2_Y = E[(Y-μ_Y)^2],\;
           ρ = E \left[ \frac{(X-μ_X)(Y-μ_Y)}{σ_Xσ_Y} \right] #]
           
     - [참고] 1개 랜덤변수(X)에 대한 단일 가우시안 확률밀도함수
         
[# f_X(x) = \frac{1}{σ\sqrt{2π}}\;e^{-\frac{(x-μ)^2}{2\,σ^2}} #]

  ㅇ N개 랜덤변수에 대한 결합 가우시안 확률밀도함수(PDF)
     

     - `확률벡터의 기대값` 및 `확률벡터의 분산(공분산 행렬)`으로 완전하게 나타낼 수 있음
        . 확률벡터의 기대값 = 평균 벡터(Mean Vector)
          
        .  확률벡터의 분산 = 공분산 행렬(Covariance Matrix)
          

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