미분방정식 구분

(2019-09-05)

미분방정식 종류, 미분방정식 분류

1. 상 미분방정식(ODE), 편 미분방정식(PDE)

  ※ 미지 함수(종속 변수, 함수)가 1 변수 함수인지 다변수 함수인지에 따른 분류

  ㅇ 상 미분방정식 (Ordinary Differential Equation, ODE)
     - 미지 함수도함수를 포함하는 방정식
        . 1개 독립변수(x), 1개 이상의 종속변수(y)의 도함수 만을 포함 
     - 일반 형태 : F(x,y,y',...,y(n)) = 0
        . 例)  dy/dx + 4y = ex
     * 통상, 그냥 미분방정식 라고하면, 상미분방정식을 지칭함

  ㅇ 편 미분방정식 (Partial Differential Equation, PDE)
     - 미지 함수편 도함수를 포함한 미분방정식
        . 2개 이상의 독립변수(x,y,...), 1개 이상의 종속변수(u)의 편 도함수를 포함
     - 일반 형태 : F(x,y,u,ux,uy) = 0
        . 例)  ∂2u/∂x2 + ∂2u/∂y2 = 0
        . 例)  열전도 방정식, 파동 방정식
2. 1계 미분방정식, 2계 미분방정식(고계 미분방정식)1계 미분방정식
     - 최고계 미분항(도함수)이 1계 미분미분방정식2계 미분방정식(고계 미분방정식)
     - 최고계 미분항(도함수)이 2계 미분미분방정식
     * 2계 미분방정식은, 2계 이상의 고계 미분방정식 풀이의 기초가 됨


3. 연립 미분방정식 (system of differential equations)

  ㅇ 여러 미분방정식들이 집합(연립)을 이뤄 표현되나, 
     - 공통의 를 갖는 미분방정식


4. 선형 미분방정식, 비선형 미분방정식선형 미분방정식
     - 종속변수 및 그 도함수가 1차이고, 각 계수(coefficient)가 독립변수 만의 함수
     - 例)  4x3 d2y/dx2 + x2 dy/dx + (cos x) y = ex비선형 미분방정식
     - 종속변수 및 그 도함수가 1차가 아닌 멱 지수를 갖을 때나, 
       계수종속변수를 포함하거나, 
       비선형 함수(例: sin y 등)를 포함하는 항이 있을 때
     - 例)  xydy/dx + 2y = sin x


5. 제차(Homogeneous,균질,동차), 비제차(Nonhomogeneous,비균질,비동차)

  ㅇ 제차 선형 미분방정식 
     - 例) y′+ p(x) y = 0

  ㅇ 비제차 선형 미분방정식 
     - 例) y′+ p(x) y = r(x) ≠ 0
        . r(x) : 강제함수(Forcing Function),구동함수(Driving Function)라고도 함


6. 상수계수 미분방정식, 변수계수 미분방정식계수(係數, coefficient)가 상수 또는 변수인지를 구분

  ㅇ 상수계수(constant coefficient)를 갖는 미분방정식
     - 例) a y″+ b y′+ c y = g(x)

     - [참고] ☞ 특성방정식 참조

  ㅇ 변수계수(variable coefficient)를 갖는 미분방정식
     - 변수계수를 갖는 2계 미분방정식 형태
        . 일반형 :  p(x) y″+ q(x) y′+ r(x) y = f(x)
        . 표준형 :  y″+ p(x) y′+ q(x) y = g(x)

     - [참고] ☞ 급수 참조


7. 특별한 이름을 갖는 미분방정식

  ㅇ 베 상 미분방정식(ODE), 편 미분방정식(PDE)

  ※ 미지 함수(종속 변수, 함수)가 1 변수 함수인지 다변수 함수인지에 따른 분류

  ㅇ 상 미분방정식 (Ordinary Differential Equation, ODE)
     - 미지 함수의 도함수를 포함하는 방정식
        . 1개 독립변수(x), 1개 이상의 종속변수(y)의 도함수 만을 포함 
     - 일반 형태 : F(x,y,y',...,y(n)) = 0
        . 例)  dy/dx + 4y = ex
     * 통상, 그냥 미분방정식 라고하면, 상미분방정식을 지칭함

  ㅇ 편 미분방정식 (Partial Differential Equation, PDE)
     - 미지 함수의 편 도함수를 포함한 미분방정식
        . 2개 이상의 독립변수(x,y,...), 1개 이상의 종속변수(u)의 편 도함수를 포함
     - 일반 형태 : F(x,y,u,ux,uy) = 0
        . 例)  ∂2u/∂x2 + ∂2u/∂y2 = 0
        . 例)  열전도 방정식, 파동 방정식
2. 1계 미분방정식, 2계 미분방정식(고계 미분방정식)1계 미분방정식
     - 최고계 미분항(도함수)이 1계 미분미분방정식2계 미분방정식(고계 미분방정식)
     - 최고계 미분항(도함수)이 2계 미분미분방정식
     * 2계 미분방정식은, 2계 이상의 고계 미분방정식 풀이의 기초가 됨


3. 연립 미분방정식 (system of differential equations)

  ㅇ 여러 미분방정식들이 집합(연립)을 이뤄 표현되나, 
     - 공통의 를 갖는 미분방정식


4. 선형 미분방정식, 비선형 미분방정식선형 미분방정식
     - 종속변수 및 그 도함수가 1차이고, 각 계수(coefficient)가 독립변수 만의 함수
     - 例)  4x3 d2y/dx2 + x2 dy/dx + (cos x) y = ex비선형 미분방정식
     - 종속변수 및 그 도함수가 1차가 아닌 멱 지수를 갖을 때나, 
       계수종속변수를 포함하거나, 
       비선형 함수(例: sin y 등)를 포함하는 항이 있을 때
     - 例)  xydy/dx + 2y = sin x


5. 제차(Homogeneous,균질,동차), 비제차(Nonhomogeneous,비균질,비동차)

  ㅇ 제차 선형 미분방정식 
     - 例) y′+ p(x) y = 0

  ㅇ 비제차 선형 미분방정식 
     - 例) y′+ p(x) y = r(x) ≠ 0
        . r(x) : 강제함수(Forcing Function),구동함수(Driving Function)라고도 함


6. 상수계수 미분방정식, 변수계수 미분방정식계수(係數, coefficient)가 상수 또는 변수인지를 구분

  ㅇ 상수계수(constant coefficient)를 갖는 미분방정식
     - 例) a y″+ b y′+ c y = g(x)

     - [참고] ☞ 특성방정식 참조

  ㅇ 변수계수(variable coefficient)를 갖는 미분방정식
     - 변수계수를 갖는 2계 미분방정식 형태
        . 일반형 :  p(x) y″+ q(x) y′+ r(x) y = f(x)
        . 표준형 :  y″+ p(x) y′+ q(x) y = g(x)

     - [참고] ☞ 급수 참조


7. 특별한 이름을 갖는 미분방정식

  ㅇ 베르누이 미분방정식
     - {# dy/dx + P(x)y =f(x)y^n #}
  ㅇ 베셀 미분방정식르장드르 미분방정식


[미분방정식 기초] 1. 미분방정식 2. 미분방정식 구분 3. 미분방정식 용어 4. 미분방정식 풀이 5. 미분방정식 해 6. 해적분곡선,방향장 7. 양함수,음함수 8. 미분 연산자 9. 선형,비선형 미분방정식 10. 상 미분방정식
  1.   기술공통
  2.   기초과학
        1. 과학
    1.   수학
          1. 수학
      1.   기초수학
      2.   집합,논리
      3.   해석학(미적분 등)
            1. 해석학
        1.   미분적분
        2.   벡터해석학
        3.   미분방정식
          1.   미분방정식 기초
            1.   1. 미분방정식
                2. 미분방정식 구분
                3. 미분방정식 용어
                4. 미분방정식 풀이
                5. 미분방정식 해
                6. 해적분곡선,방향장
                7. 양함수,음함수
                8. 미분 연산자
                9. 선형,비선형 미분방정식
                10. 상 미분방정식
          2.   초기값문제,경계값문제
          3.   1계 미분방정식
          4.   2계(고계) 미분방정식
          5.   급수해법
          6.   편미분방정식
          7.   특수함수
      4.   대수학
      5.   확률/통계
      6.   수치해법
    2.   물리
    3.   화학
    4.   지구,천체 과학
    5.   생명과학
    6.   뇌과학
  3.   진동/파동
  4.   방송/멀티미디어/정보이론
  5.   전기전자공학
  6.   통신/네트워킹
  7.   정보기술(IT)
  8.   공업일반(기계,재료등)
  9.   표준/계측/품질
  10.   기술경영

 
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