Signal Space   신호 공간

(2020-01-16)

신호의 기하학적 표현, 신호의 벡터적 표현, Signal Set, 신호 집합, Signal Waveform, 신호 파형, Signal Vector, 신호 벡터

1. 신호 공간 (Signal Space,Signal Set)벡터 공간벡터 처럼, 신호들이 대수적 체계를 형성하는 공간

  ㅇ 특히, 디지털통신 상의 에너지 신호들을 기하학적으로 표현하기 용이한 수학적 틀
     - 例) 디지털 변조신호 파형들이, 신호 공간에 명확히 `점` 또는 `벡터`로 표현 가능


2. 신호 파형, 신호 벡터의 표현 비교신호 파형 (Signal Waveform) 
     - 신호를, N차원 직교 함수공간에서, 정규직교화된 기저함수들의 선형결합으로 표현
         
[# s_i(t) = \sum^{N}_{j=1} s_{ij} \; φ_j(t) \quad (i = 1, \cdots \ , M) #]
. 여기서, .. 신호 파형 집합 : {# \{ s_i(t) \; | \; i = 1, \cdots ,M \} #} .. 정규직교 기저 함수 : {# \{ φ_j(t) \; | \; j = 1, \cdots ,N \} #} .. 계수 : {# s_{ij} = \int^T_0 s_{ij}(t) φ_j(t) dt #} .. M ≥ N ㅇ 신호 벡터 (Signal Vector) - 신호를, N차원 직교 벡터공간에서, 정규직교화된 기저벡터들의 선형결합으로 표현
[# \bar{s}_i = \sum^N_{j=1} s_{ij} \; \bar{φ}_j = \begin{bmatrix} s_{i1} \\ \vdots \\ s_{iN} \end{bmatrix} \qquad \left\{ \begin{matrix} i = 1,\cdots,M \\ j = 1,\cdots,N \end{matrix} \right. #]
3. 신호 공간에서, 신호 파형 및 신호 벡터 간의 등가적 관계신호 공간신호 집합의 요소들을 신호 벡터 또는 신호 파형으로 상호 등가적인 표현이 가능하며, 또한 이들 상호간에 매핑도 가능 - 즉, 신호공간에서는 유한 에너지 신호 파형을 벡터동등하게 취급함 . 例) 벡터 합 u + v시간 t에서 u(t) + v(t)로 매핑하는 함수로 취급 가능함 ㅇ 차원 (Dimension) - 벡터공간 차원 : 벡터공간에서 기저(Basis)를 이루는 기저 벡터의 수 - 신호공간 차원 : 신호공간에서 독립적인 기저 신호로 표현 가능한 수 . 독립 기저의 선형결합으로 공간 표현 .. 이때, 기저 선택이 유일하지 않음(무수히 많을 수 있음) ㅇ 내적 (Inner Product) 노름 (Norm) - 노름신호 벡터진폭으로 볼 수 있음 . 하나의 심볼 구간 동안 송신된 신호 에너지삼각부등식 (Triangular Inequality) 방향성 표현 - 벡터 : 유향선분(화살표)에 의해 표현 - 신호 : 신호위상주파수 관계로 표현 가능 ㅇ 점 표현 - 벡터벡터공간에서 기하학적으로 방향선분으로 표현하는 것 처럼, - 신호신호공간에서 유사하게 점으로 표현이 가능 4. 신호 공간 상의 신호기하학적 표현 => 성상도신호를 일반화된 신호 공간 상의 한 점으로 표시함으로써, - 신호기하학적으로 관찰 가능 . 例) 결정 신호는 한 점으로 표현, 랜덤 프로세스불규칙한 구름 처럼 표현 - 전송 신호 점 사이에 최소거리를 검토하는데 도움이 됨 ㅇ 수학적 간결성 도모 - 복수개의 신호라도 한결 간결하게 표현 가능 - 벡터적 표현을 응용하여 복잡성을 줄임


[신호 공간] 1. 신호공간 2. 성상도 3. 그람 슈미트 직교화 과정
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