Differential Equation   미분 방정식

(2019-09-05)
1. 미분 방정식 (Differential Equation)

  ㅇ 미지 함수도함수를 포함하는 방정식
     - 미지의 함수 y=f(x) 와 그 도함수 dny/dxn 간에 어떤 관계를 나타내는 방정식

  ※ 18세기 스위스 수학자 오일러(Leonhard Euler, 1701~1783)에 의해 개발되고 발전됨


2. 미분 방정식의 통상적인 형태

  ㅇ  {# F(x,y,\frac{dy}{dx},\cdots,\frac{d^ny}{dx^n}) = 0 #} 또는 {# F(x,u,u',u'',\cdots,u^{(n)}) = 0 #}

  ㅇ  {# \frac{d^2 y}{dx^2} + 8y = 0 #}, {# u'(x) = u(x) #}, {# u''(x) + 3u(x) = e^x #} 등

     - 독립변수 : x
     - 종속변수 : y,u (즉, 미지 함수 : y=y(x),u=u(x) )
     - 미지 함수도함수 : dy/dx,y',u',u(n), 계수(상수) : n


3. 수학적 모델링과 그 풀이 및 예측미분방정식의 역할 : 물리계,전기계,금융 등의 수학적 모델링
     - 자연계 현상의 수학적 모델링(수학적 표현)은, 주로 미분방정식으로 표현 함
        . 물리적 현상에 대한 여러 정보를 이용하여, 
        . `미분방정식` 형태와 
        . 그 `초기조건` 또는 `경계조건`을 찾아내는 과정

     - 대부분, 계속 변화되는 변화율의 관계를 나타내게됨
        . 例) 자유 낙하 방정식 : d2y/dt2 = g
        . 例) 조화 진동 방정식 : m d2x/dt2 = - k x
        . 例) 연속 복리 계산   : dM/dt = r M

  ㅇ 미분방정식의 풀이                                 ☞  미분방정식 풀이 참조
     - 미분방정식을 만족하는, `미지 함수` = `독립변수의 연속 함수`(,解) 를 구하는 것
     - 미분방정식 해법은, 정형화되고 체계적이며 일반화된 단일 방법론은 없고, 
        . 미분방정식 형태별로 그에 맞는 해법이 개발되어 옴

  ㅇ 미분방정식의 미분방정식 해 참조
     - 일반 대수방정식과는 달리, 그 이 숫자가 아닌 함수(독립변수로 구성) 형태임

     * [주요 질문]
        . 주어진 미분방정식에서 가 존재하는가? (존재성)
        . 가 존재한다면, 그 가 유일한가? (유일성)
        . 가 존재한다면, 어떤 구간에서 존재하는가? 
        . 그 를 구하는 방법은 무엇인가? (해법)

  ㅇ 미분방정식의 예측성
     - 그 풀이된 해로 자연현상을 예측할 수 있음
        . 운동예측하는 것 = 미분방정식 해를 구하는 것


4. 미분방정식의 구분

  ※ ☞ 미분방정식 구분 참조
     - 상 미분방정식, 편 미분방정식, 연립 미분방정식
     - 선형 미분방정식, 비선형 미분방정식
     - 제차 선형 미분방정식, 비제차 선형 미분방정식 
     - 상수계수 미분방정식, 변수계수 미분방정식
     - 특별한 이름을 갖는 미분방정식


5. 미분방정식의 용어

  ※ ☞ 미분방정식 용어 참조
     - 미분방정식 표현 형태 (양함수형, 음함수형)
     - 계수(order) 및 차수/멱수/멱지수(degree)
     - 임의 상수 (적분 상수) 등


6. 초기값 문제, 경계값 문제

  ※ ☞ 초기값 문제, 경계값 문제  참조
     - 해가 일정한 조건을 만족시키도록 요구되는 미분방정식 풀이 문제


[미분방정식 기초] 1. 미분방정식 2. 미분방정식 구분 3. 미분방정식 용어 4. 미분방정식 풀이 5. 미분방정식 해 6. 해적분곡선,방향장 7. 양함수,음함수 8. 미분 연산자 9. 선형,비선형 미분방정식 10. 상 미분방정식
  1.   기술공통
  2.   기초과학
        1. 과학
    1.   수학
          1. 수학
      1.   기초수학
      2.   집합,논리
      3.   해석학(미적분 등)
            1. 해석학
        1.   미분적분
        2.   벡터해석학
        3.   미분방정식
          1.   미분방정식 기초
            1.   1. 미분방정식
                2. 미분방정식 구분
                3. 미분방정식 용어
                4. 미분방정식 풀이
                5. 미분방정식 해
                6. 해적분곡선,방향장
                7. 양함수,음함수
                8. 미분 연산자
                9. 선형,비선형 미분방정식
                10. 상 미분방정식
          2.   초기값문제,경계값문제
          3.   1계 미분방정식
          4.   2계(고계) 미분방정식
          5.   급수해법
          6.   편미분방정식
          7.   특수함수
      4.   대수학
      5.   확률/통계
      6.   수치해법
    2.   물리
    3.   화학
    4.   지구,천체 과학
    5.   생명과학
    6.   뇌과학
  3.   진동/파동
  4.   방송/멀티미디어/정보이론
  5.   전기전자공학
  6.   통신/네트워킹
  7.   정보기술(IT)
  8.   공업일반(기계,재료등)
  9.   표준/계측/품질
  10.   기술경영

 
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