Euler Method   오일러 법, Euler 법

(2018-10-29)
1. Euler 법1계 미분방정식초기값 문제에 대해 수치적 해를 구하는 가장 간단한 수치해법
     - 점-기울기 법, Euler-Cauchy 법이라고도 불리움

  ㅇ 특징
     - 테일러 근사로부터 유도됨
     - 비교적 오차가 큼
     - 구간 간격을 작게하면 정확도는 개선되나, 스텝 수가 늘어나므로, 실행 시간이 길어짐


2. Euler 방법에 의한 1계 미분방정식 문제 풀이 방식

  ㅇ 문제 
     - dy/dt = f(t,y),  y(0) = y0
        . y : 미지의 함수, f(t,y) : 기지의 함수, y0 : 초기조건 

  ㅇ 풀이 
     - 미분차분 근사식
        . dy/dt ≒ {y(t+Δt) - y(t)}/Δt

     - 문제의 미분방정식을 수치 근사 계산이 가능한 차분방정식으로 바꿈 (테일러 급수 활용)
        . {y(t+Δt) - y(t)}/Δt = f(t,y)
        . y(t+Δt) = y(t) + f(t,y)Δt
        . y(tk+1) = y(tk) + f[tk,y(tk)]Δt   (1차 테일러 근사동등차분방정식)
           ..  f[tk,y(tk)] : 증분 함수 (기울기)
           .. Δt : 구간 간격 (균등 간격 임)

     - 점(t0,y0)을 시작점으로하여 다른 t 값들에서 미지의 함수 y의 값들을 구함
        . 각 단계의 시작점에서 `함수 f(t,y)의 값`을 해당 단계의 `기울기`로 취함
           .. 즉, f(t,y) = dy/dt 이므로,

     - 결국, 새로운값 = 이전값 + 기울기x구간간격 = 이전값 + f(t,y)Δt

  ㅇ 프로그래밍 상에서는, 
     - 초기값부터 구간 간격 스텝 수 만큼 for 루프를 실행시키며, 
     - 이어지는 다른 t 값들에서 근사값을 구하게 됨


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