Lagrangian, Hamiltonian   라그랑지안, 해밀토니안

(2022-01-18)

라그랑주 방정식, 라그랑지 방정식

1. 라그랑지안 (Lagrangian)

  ㅇ 라그랑지안 또는 라그랑지안 함수 (Lagrangian)  :  L
     - 물리계의 동역학적인 성질을 함수로서 나타내는 물리량

  ㅇ 라그랑지안 함수의 정의
     - 이 함수의 정의는, `운동에너지(T)와 위치에너지(V) 간의 차이` 임 : 
[# L = T - V #]
- 이 함수독립변수는, 위치,속도,시간함수 임 :
[# L = L(q, \dot{q}, t) #]
. {#q#} : 위치 (일반화 좌표), {#\dot{q}#} : 속도 (일반화 속도), {#t#} : 시간 ㅇ 라그랑지안 함수적분 => 작용, 작용량 (Action) ☞ 범함수 참조 - 무한히 많은 운동 경로를 갖을 수 있는 라그랑지안 L 함수적분한 것
[# J = \int^{t_2}_{t_1} L dt #]
* 이 적분량(작용량)을 최소화하는데 관심을 갖음 2. 라그랑주 방정식 ㅇ 작용(Action) J을 최소화할 때의 운동방정식 - 해밀턴 원리변분법을 써서 얻어지는(유도되는) 운동방정식 . 라그랑지안(에너지 관계)을 구하고, . 이를 라그랑주 방정식(위치,속도시간 변화)에 대입하여, 풀어냄으로써, . 뉴튼 역학 처럼 운동궤적을 얻을 수 있음 ㅇ 1 차원 라그랑주 방정식
[# \frac{d}{dt} \left( \frac{∂L}{∂\overset{·}{q}} \right) - \frac{∂L}{∂q} = 0 #]
- 라그랑지안 : {# L = L(q, \dot{q}, t) #} ㅇ n 차원 라그랑주 방정식 - n개 좌표 q1,q2,...,qn에 의한 표현 (n개의 자유도를 갖는 계)
[# \frac{d}{dt} \left( \frac{∂L}{∂\overset{·}{q}} \right) - \frac{∂L}{∂q_i} = 0 \qquad (i=1,2,\cdots,n) #]
- 라그랑지안 :
[# L = L(q_1,q_2,\cdots,q_n \,;\, \dot{q_1},\dot{q_2},\cdots,\dot{q_n} \,;\, t) #]
. {#q#} : 일반화 좌표, {#\dot{q}#} : 일반화 속도, {#i#} : 자유도 ㅇ (명칭) 라그랑주 방정식 = 라그랑지안 운동방정식 = 오일러 라그랑주 방정식 3. 라그랑주 역학뉴턴 역학좌표계에 의존하나, 라그랑주 역학좌표계에 의존 안함 - 구속조건 및 보존량을 다루기 쉬움 - 뉴턴 역학으로는 표현하기 어려운 문제도 표현 가능 (例, 양자역학 등) ※ Joseph-Louis Lagrange (1736 ~ 1813) : 프랑스의 수학자이자 천문학자 - 1788년 "해석 역학" 저서 발표 - 그 이전 오일러로부터 발전된 변분법역학에 응용하여, 기존 뉴턴 역학을 보다 일반화시킴 4. 해밀토니안 (Hamiltonian) ㅇ 해밀토니안 또는 해밀토니안 함수 - 물리계의 동역학적인 성질을 나타내는 함수로서의 물리량 . 운동량,위치,시간함수 : {# H = H(p,q,t) #} . 계(系)의 에너지운동량 좌표 p 와 공간 좌표 q 로 표현한 것 * 한편, . 라그랑주 역학은, 라그랑주 방정식을 통해 계의 방정식을 기술하여, 운동상태를 묘사 . 해밀토니안 역학은, 위치,운동량으로, 운동상태를 묘사 ㅇ 차원별 해밀토니안 - 1차원 해밀토니안 : {# H(p,q,t) = p\dot{q} - L(q,\dot{q},t) #} - n차원 해밀토니안 :
[# H = \sum_i p_iq_i - L \quad (i=1,2,\cdots,n) #]
.
[#L#]
: 라그랑지안 .
[# p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} #]
: 일반화 운동량 . q : 위치에 대한 일반화 좌표 ※ [참고] ☞ 해밀턴 원리, 최소 작용의 원리 참조 - 운동이 취하는 경로가, 작용량을 최소화시키는 경로를 따른다는 일반 원리 . 여기서, 작용량이란? 운동에너지(T)와 위치에너지(V) 간의 차이 - 1834년 발표


[일반역학] 1. 라그랑지안,해밀토니안 2. 일반화 좌표 3. 달랑베르 원리 4. 운동방정식 5. 해밀턴 원리
  1.   기술공통
  2.   기초과학
  3.   진동/파동
  4.   전기전자공학
  5.   방송/멀티미디어/정보이론
  6.   통신/네트워킹
  7.   정보기술(IT)
  8.   공학(역학,기계,재료등)
        1. 기술,공학 이란?
    1.   역학
          1. 역학
      1.   역학 용어
      2.   정역학,고체(재료)역학
      3.   동역학
      4.   유체역학
      5.   열역학
      6.   통계역학
      7.   일반역학
        1.   1. 라그랑지안,해밀토니안
            2. 일반화 좌표
            3. 달랑베르 원리
            4. 운동방정식
            5. 해밀턴 원리
    2.   기계공학
    3.   재료공학
    4.   측량/측위/항법
    5.   소방학
  9.   설계/표준/계측/품질
  10.   기술경영

 
        최근수정     요약목록     참고문헌