1. 합동 (合同, Congruence)
ㅇ 동등,같음 등을 의미하는 광의의 수학 용어
- 합동은 `같다` 이상의 광의의 개념으로, 동일한 크기,모양/형태를 갖음을 나타냄
. 기호로는 `≡` 또는 `
`
ㅇ [기하학]
- 합동(Congruence) : 크기와 모양이 같으나 위치 만 다름 ( ≡ 또는
)
. 적당히 이동(등거리 변환)시켜 포개면 정확하게 겹쳐짐
- 닮음(Similarity) : 같은 모양을 갖지만, 크기가 다름 ( ~ )
. 서로 대응하는 두 변의 비율이 일정하고, 대응하는 각은 모두 같음
ㅇ [대수학/정수론]
- 정수가 일정한 수로 나눈 `나머지`에 만 의존하며 동등함을 나타냄
2. [정수론] 합동
※ 19세기초 가우스(Karl Friedrich Gauss,1777~1855)가 최초로 도입한 기호(≡) 및 개념
ㅇ 합동식 표기 : a ≡ b (mod m)
- 위 합동식의 다양한 표현들
. `a,b 는 법(法,Modulus) m 으로 하여 합동`
. `a는 법 m으로 하여 b와 합동`
. `a를 법 m에 대한 b의 잉여(剩餘)`
. `임의의 정수 b는 {0,1,2,...,m-1} 중의 어느 한 정수와 법 m에 대해 합동`
. `a is congruent to b modulo m`
. 합동 모듈러 m (Congruent Modulo m) (법 m에 관한 합동)
- 위 합동식의 의미상 동치/동등인 진술들
. 정수 a,b의 차 (a-b)가 양의 정수 m 으로 나누어 떨어짐
.. 즉, m | (a-b) (☞ 약수 참조)
. 정수 a,b는 양의 정수 m으로 나누었을 때 같은 나머지 r를 갖음
.. 즉, a = p m + r, a = q m + r (0≤r<m)
. a = b + k m (k: 임의 정수)
ㅇ 例
- 例 1) 3 ≡ 24 (mod 7) : 정수 3,24의 차가 7로 나누어 떨어짐
- 例 2) 42 ≠ 5 (mod 8) : 정수 42,5의 차가 8로 나누어 떨어지지 않음
- 例 3) 손목시계,표준시계가 나타내는 시간은 모듈로 12시간으로하여 합동
- 例 4) 13 ≡ 25 (mod 12) : 13과 25는 12로 나누면 모두 나머지가 1이므로, 12에 대해 합동
3. [정수론] 합동 연산 관련사항
ㅇ 주요 성질
- a ≡ b (mod n), c ≡ d (mod n) 일 때
. a + c ≡ b + d (mod n)
. a c ≡ b d (mod n)
- a + c ≡ b + c (mod n) (c는 임의 정수)
- a c ≡ b c (mod n) (c는 임의 정수)
- ak ≡ bk (mod n) (k는 임의 자연수)
ㅇ 합동식 (Congruence expression)
- 합동을 나타내는 기호 ≡가 들어있는 식
ㅇ 합동류 (Congruence class)
- a가 주어지고 그때의 b의 모든 집합 ☞ 잉여류