군의 종류

(2020-03-28)

Cyclic Group, 순환 군, Semi-group, 반군, Monoid, 모노이드, Permutation Group, 치환 군

1. ( 보다 약한 공리를 갖는 군들)

  ㅇ 반군 (半群, Semi Group) : 결합적 이항연산을 갖는 집합 
     - 하나의 이항연산(덧셈)에 대해 `닫힘성` 및 `결합법칙` 만이 성립

  ㅇ 모노이드 (Monoid)       : 이항연산에 대해 항등원을 갖는 반군
     - 반군에 추가적으로 항등원도 갖는 경우
        . 例) `0`과 자연수 전체의 집합은, 
           .. 자연수는 덧셈에 대해 반군 구조(닫힘성,결합법칙 성립)이며,
           .. 이에 항등원 0도 갖게되면, 모노이드가 됨

  ㅇ 한편, 모노이드에 추가적으로, 임의 원소의 역원까지도 갖으면, => 군(群)이 됨
     * 즉,  반군 < 모노이드 < 군


2. 의 종류

  ㅇ 유한 군, 무한 군 
     - 유한 군 (Finite Group)   : 의 원소 개수가 유한 
     - 무한 군 (Infinite Group) : 의 원소 개수가 무한
     * 원소의 개수 => 위수 (Order)

  ㅇ 순환 군 (Cyclic Group)
     - 한 원소로 의 모든 원소를 나타낼 수 있는 
        . 즉, G = { an | n ∈ ℤ }이 되는 원소 a가 존재하는 
           .. 이 때 원소 a를 생성원(generator)라고 함 
     - 표기
        . 원소 a에 의해 생성되는 순환군 G = < a >
        . 위수 n인 순환군 Cn
     * 순환군은  중에서 가장 간단한 구조를 갖음

  ㅇ 덧셈 군(Additive Group), 곱셈 군(Multiplicative)
     - 덧셈 군 : 이항 연산이 덧셈 연산
        . 이때의 항등원을 1 로 나타냄
     - 곱셈 군 : 이항 연산이 곱셈 연산
        . 이때의 항등원을 0 로 나타냄

  ㅇ 가환군(Communtative Group) 또는 아벨군(Abelian Group)
     - 에 관한 4가지 공리에다가 추가적으로,
     - 교환법칙도 만족하는 부분 군(Subgroup) 
     - 군 G의 부분집합으로 군 G와 같은 연산 구조를 갖는 군


3. 대칭 방정식의 풀이가능성(가해성,Solvability)과 관련되어 핵심적인 수학적 요소

  ㅇ 치환  (Permutation Group)
     - 치환(Permutation) : 집합 A 위에서 전단사함수
     - 치환 군(Permutation Group) : 합성함수 연산에 의해 이 되는 A의 치환들의 모임
        . 집합 A에서 자기자신으로 가는 전단사 함수들의 


[군(Group)] 1. 군(Group) 2. 군의 종류 3. 가환군 4. 부분군 5. 대칭성 6. 대칭 조작 7. 치환 8. 군 용어
  1.   기술공통
  2.   기초과학
        1. 과학
    1.   수학
          1. 수학
      1.   기초수학
      2.   집합,논리
      3.   해석학(미적분 등)
      4.   대수학
            1. 대수학
        1.   기초대수학
        2.   정수론(수론)
        3.   선형 대수학
        4.   추상대수학
              1. 추상 대수학
              2. 대수 구조
          1.   연산
          2.   군(Group)
            1.   1. 군(Group)
                2. 군의 종류
                3. 가환군
                4. 부분군
                5. 대칭성
                6. 대칭 조작
                7. 치환
                8. 군 용어
          3.   환(Ring)
          4.   체(Field)
      5.   확률/통계
      6.   수치해법
    2.   물리
    3.   화학
    4.   지구,천체 과학
    5.   생명과학
    6.   뇌과학
  3.   진동/파동
  4.   방송/멀티미디어/정보이론
  5.   전기전자공학
  6.   통신/네트워킹
  7.   정보기술(IT)
  8.   공학일반(기계,재료등)
  9.   표준/계측/품질
  10.   기술경영

 
        최근수정     요약목록     참고문헌