Group (군), Group Axiom, Group Theory   군 (Group), 군 (群), 군 공리, 군론

(2020-05-19)

군, 군, Group

1. 군 (Group,群) 이란?

  ㅇ [일반]  어떤 성질을 만족하는 대상(object)들의 집합을 일컬음

  ㅇ [수학]  군 또는 군론 (Group Theory)
     - 대칭적인 성질을 만족하는 어떤 수학적 구조(대수적 구조)를 다룸
        . 여기서의 성질은, 어떤 집합의 원소들 간의 연산에서 나타나는 성질을 말함
     - 대칭성(Symmetry),불변성(Invariance)을 다루는 수학적 도구
        . 기하학적 변환/대수적 변환에서도 불변하는 것을 다룸


2. 대수 구조로써의 군(群)

  ㅇ 가장 기초적인 대수 구조 임
     - 즉, 군(群)은, 1개의 연산(이항연산) 만을 갖는 대수 구조임
        . 例 1) 1개의 연산을 갖는 대수 구조 : 군(Group)
           .. 수,함수,벡터,다항식 등에 대해 1개 연산 만으로 다룰 때
        . 例 2) 2개의 연산을 갖는 대수 구조 : 환(Ring), 체(Field), 벡터공간 등
     - 더 복잡한 대수적 구조를 만들어내는 기본 구성요소의 하나

  ㅇ 군의 표기 :  ( G, * )  또는  < G, * >  또는  { G, * }
                  또는, 연산이 분명하면 간단히 그냥 `군 G` 로 만 표기
     - 여기서, 
        . G : 군의 원소 집합, * : 군의 연산 (+,· 등이 쓰임)

  ㅇ 군의 성격
     - 결합적인 연산을 갖으며, 이 연산에 관한 한 모든 원소에 대해 항등원,역원을 갖는 집합


3. 군의 공리 (Group Axiom) 집합 G 및 이항연산 * 이 있을 때, 다음의 4가지 공리(성질,조건)들을 만족함

  ㅇ ①  이항연산 * 에 대해 `닫혀있음` (Closure)
     -   a * b 연산 결과도 집합 G 에 속함
        . 순서쌍 (a,b)들의 곱(카테시안 곱) 연산에 대해 닫혀있음
        . 즉, 어떤 집합의 임의의 두 원소들(순서쌍) 간에 연산이 행해질 때, 
              그 결과 역시도 그 집합의 원소가 됨

  ㅇ ②  이항연산 * 에 대해 `결합법칙 성립` (Associativity)
     -   a,b,c 모두 집합 G 에 속하고, a * (b * c) = (a * b) * c 임

  ㅇ ③  이항연산 * 에 대해 `항등원이 존재` (Identity Element)
     -   e * a = a * e = a
        . 보통, e(Einheit,독일어) 또는 i(Identity,영어)로 표기
        . 모든 군은 반드시 하나의 항등원이 존재함

  ㅇ ④  이항연산 * 에 대해 `각 원소의 역원이 존재` (Inverse Element)
     -   a * a-1 = a-1 * a = E
        . 보통, a-1로 표기

  ※ 한편, 
     - ①,② 만 만족하면 => 반군 (닫힘성,결합법칙)
     - 반군에 ③까지도 만족하면 => 모노이드 (닫힘성,결합법칙,항등원)
     - ①,②,③,④ 모두 만족하면 => 군(群) (닫힘성,결합법칙,항등원,역원)
     - ①,②,③,④ 모두에 교환법칙까지 만족하면 => 가환군 (닫힘성,결합법칙,항등원,역원,교환법칙)


4. 군의 종류

  ※ ☞ 군의 종류 참조
     - 반군,유한군/무한군,가환군(아벨군),순환군,덧셈군/곱셈군,부분군5. 군이 대상으로 삼을 수 있는 분야수론 : 수집합 ℤ(정수),ℚ(유리수),ℝ(실수),ℂ(복소수)는 덧셈 연산 하에서 군을 이룸

     - 例) 정수 집합 내에서 덧셈 연산 ( ℤ, + )은 군 임
        . ①  두 정수의 덧셈은 정수 (닫혀있음)
        . ②  a + (b + c) = (a + b) + c (결합법칙 성립)
        . ③  0 + a = a + 0 = a (항등원 존재) 
        . ④  임의 정수 (-a) + a = 0 (각 원소에 역원이 존재) 

     - 例) 정수 집합 내에서 곱셈 연산 ( ℤ, · )은 군이 아님
        . ④ 역원 공리 성립 안함 (例, 5 b = 1을 만족하는 정수 b는 존재 안함)

     - 例) 양의 유리수 집합+ 내 곱셈 연산 ( ℚ+, · )은 군 임
        . 양의 유리수 a의 항등원은 1, 역원은 a-1

     - 例) n을 법으로 하는 정수의 덧셈 군 Zn
        . 이 군은, 정수 잉여류 집합 {0,1,2,...,n-1}과 n을 법으로 하는 덧셈 연산으로 구성
        . 여기서, 항등원은 0 이며, 임의 원소 j의 역원은 n-j

  ㅇ 대수 방정식 이론 : 방정식(Roots)

  ㅇ 기하학적 변환 : 어떤 도형을 회전시키는 대칭 동작 
     - 例) 강체운동 군 등

  ㅇ 응용 분야 : 분자 대칭성대칭 조작


[군(Group)] 1. 군(Group) 2. 군의 종류 3. 가환군 4. 부분군 5. 대칭성 6. 대칭 조작 7. 치환 8. 군 용어
  1.   기술공통
  2.   기초과학
        1. 과학
    1.   수학
          1. 수학
      1.   기초수학
      2.   집합,논리
      3.   해석학(미적분 등)
      4.   대수학
            1. 대수학
        1.   기초대수학
        2.   정수론(수론)
        3.   선형 대수학
        4.   추상대수학
              1. 추상 대수학
              2. 대수 구조
          1.   연산
          2.   군(Group)
            1.   1. 군(Group)
                2. 군의 종류
                3. 가환군
                4. 부분군
                5. 대칭성
                6. 대칭 조작
                7. 치환
                8. 군 용어
          3.   환(Ring)
          4.   체(Field)
      5.   확률/통계
      6.   수치해법
    2.   물리
    3.   화학
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    5.   생명과학
    6.   뇌과학
  3.   진동/파동
  4.   방송/멀티미디어/정보이론
  5.   전기전자공학
  6.   통신/네트워킹
  7.   정보기술(IT)
  8.   공학일반(기계,재료등)
  9.   표준/계측/품질
  10.   기술경영

 
        최근수정     요약목록     참고문헌