Separation of Variables   변수분리법

(2019-10-23)

Separable Differential Equation, 변수분리형 미분방정식

1. 변수분리 이란?

  ㅇ 각 항에 하나의 변수 만 포함되도록 적절히 식을 변형시켜 방정식의 해를 구하는 것


2. 상 미분방정식변수분리형 미분방정식 풀이변수분리형 미분방정식
     -   g(x)dx + h(y)dy = 0  또는 dy/dx = g(x)/h(y)
        . dx,dy의 각 계수(coefficient)가 각각 x,y 만의 함수로 표현될 수 있는 미분방정식
        . 모든 미분방정식 중 가장 간단한 형태의 미분방정식변수분리형으로 변환하는 例)
       
[# x^2y' = 1 + y \quad \Rightarrow \quad \frac{y'}{1+y} = \frac{1}{x^2} \quad ( y \neq -1, \; x \neq 0 ) \\ y' = y^2 e^{-x} \quad \Rightarrow \quad \frac{y'}{y^2} = e^{-x} \quad ( y \neq 0 ) #]
변수분리형 미분방정식의 풀이법
[# \frac{dy}{dx} = \frac{g(x)}{h(y)} \quad \Rightarrow \quad h(y)dy = g(x)dx \quad \Rightarrow \quad \int h(y) dy = \int g(x) dx \\ \qquad \Rightarrow \quad H(y) = G(x) + C #]
- 여기서, H(y),G(x)는 h(y),g(x)의 역도함수, C는 적분상수 3. 편 미분방정식변수분리법 (Separation of Variables Method) ㅇ 편 미분방정식 풀이법 중 가장 단순하고 많이 쓰임 ㅇ x 만의 함수와 y 만의 함수의 곱 형태 F(x,y) = X(x)Y(y) 로 변수분리된 해를 가정하여, 특수해를 구하는 편미분방정식 풀이법 - 변수분리된 편미분방정식 해를 대입하여 분리된 변수 만큼 상미분방정식으로 변형시켜 풀이하여 특수해를 구함 - 양 변 모두 x,y,...등 각각 변수들 만으로 이루어지게함으로써, 각 변수가 서로 독립적이므로 결국 상수(분리상수)로 대치하여 푸는 방법 ㅇ 때론, Fourier 해법이라고도 함


[1계 미분방정식] 1. 1계 미분방정식 2. 변수 분리형 3. 동차형 4. 완전 미분형 5. 선형 미분방정식

 
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