Polynomial Ring   다항식 환

(2022-05-14)

모닉 다항식, 원시 다항식, 기약 다항식, 가약 다항식, 최소 다항식

1. 다항식 환(Ring)실수,복소수계수로 하고 미지수(변수)가 하나인 다항식에 대한 추상대수학적 관점


2. 다항식 의 구성

  ㅇ 주어진  R의 원소들로 계수를 갖고,
     - 미지수(변수) x와 결합되어 나온(나타낼 수 있는)
     - 모든 가능한 다항식집합  =>  R[x]

  ㅇ 이때, 다항식 각 항끼리의 합,곱이 다시 그 집합 위에 성립되며, 더 큰 을 형성함
     - 즉, 통상적인 다항식 간 합,곱 결과로써 나타난 다항식들의 집합을 형성함 

  ㅇ 다항식환 R[x]에서,  R은 R[x]의 부분환(Subring) 임


3. 다항식 의 표현

  ㅇ 표기 : R[x]
      
[# R[x] = \{ \; f(x) \; | \; f(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n, \;a_i \in R, \;n\leq0 \; \} #]
- 여기서, f(x)는, 그 계수 R의 원소인 다항식 임 ㅇ 부정원 x - 사실상, 부정원(indeterminate,미지수) x는, . 굳이, R의 원소에 속하지 않을 수 있고, . 더욱이, 변수의 역할 이라기 보다는, . 주로, R의 원소들 즉 계수 a0,...,an들을 분리시키고 그 위치를 나타내기 위함 ㅇ 계수 a0,...,an - R 에 속하는 원소 . 한편, 같은 원소가 중복되어 다항식을 나타내어도 가능 - a0 : 상수항(constant term) - an : 선두계수(leading coefficient) 또는 최고차계수 ㅇ ai의 첨자(index) 및 xi지수(指數) - i = 0,1,...,n (유한 정수 이어야 함) ㅇ 차수(degree) - x의 최고차 지수/승수/(Power) - 차수의 표기 : deg [f(x)] . 例) 상수 다항식차수 : deg [f(x)=a0] = 0 .. R의 원소는 사실상 상수 다항식 임 . 例) 영 다항식차수 : deg [0] 은 정의되지 않음 - 한편, 차수가 무한대인 다항식멱급수이며 다항식이라고 하지 않음 4. 다항식 의 例 ㅇ ℤ[x] : 정수를 계수로 하고 부정원 x에 대한 다항식 - ℤ2[x] : 정수 0,1를 계수로 하고 부정원 x에 대한 다항식 . 상수 다항식 例 : 0, 1 . 1차 다항식 例 : x, x + 1 . 2차 다항식 例 : x2, x2 + 1, x2 + x, x2 + x + 1 ㅇ ℚ[x] : 유리수를 계수로 하고 부정원 x에 대한 다항식 5. [참고사항] ㅇ 모닉 다항식 (monic polynomial) - 최고차 항 계수가 1(unity) 인 다항식 ㅇ 원시 다항식 (primitive polynomial) - 계수 a0,...,an-1최대공약수가 1일 때의 다항식 ㅇ 최소 다항식 (minimal polynomial) - 어떤 수를 으로 가지면서, 차수가 가장 작고, 최고차항의 계수가 1인 다항식 ㅇ 약분(인수분해) 가능 여부 * 기약 (irreducible), 가약 (reducible) . 기약 : 더 이상 약분할 수 없음 . 가약 : 그 이상 약분 가능 - 기약 다항식 (irreducible polynomial) . 지정된 계수 범위에서는 더 이상 인수분해되지 않는 다항식 . 例) 모든 일차 다항식은 모두 기약 다항식 임 - 가약 다항식 (reducible polynomial) . 지정된 계수 범위에서 그 이상 인수분해되는 다항식 ㅇ 두 다항식 간 곱의 특징 - 일반적으로, 두 다항식 간 곱은 역원을 갖지 않음 - 두 다항식 간 곱 결과 표현식에서, 계수들은 콘볼루션 합(Convolution Summation) 형태가 됨


[환(Ring)] 1. 환(Ring) 2. 환의 종류 3. 환 용어 4. 정수 환 5. 다항식 환 6. 정역

 
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