First-order Differential Equation   1계 미분방정식

(2022-07-20)

1계 선형 미분방정식

1. 1계 미분방정식 (First-order Differential Equation)

  ㅇ 최고 계수미분항(도함수)이 1계 미분미분방정식


2. 1계 미분방정식을 나타내는 여러 표현 형태들

  ㅇ 일반 1계 미분방정식
     - 표준형  :  
[# \frac{dy}{dx} = f(x,y) #]
. 2 변수 함수 f 표현 - 제차형, 비제차형 :
[# a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_2(x)y = g(x) #]
. 제차 1계 미분방정식 표현 :
[# a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_2(x)y = 0 #]
. 비제차 1계 미분방정식 표현 :
[# a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_2(x)y = g(x) #]
- 음함수형, 양함수형 . 음함수 표현 :
[# F(x,y,y') = 0 #]
.. 종속변수 y가 독립변수 x와 분리되지 않고, .. x와 y 간의 관계를 통해서 묵시적으로 표현이 됨 . 양함수 표현 :
[# y' + P(x)y = Q(x) #]
.. 종속변수 y가 독립변수 x로부터 직접 산출될 수 있는 형태 ㅇ 선형 1계 미분방정식 - 표준형 (1-order, linear, standard form))
[# \frac{dy}{dx} + p(x)y = r(x) #]
- 제차형 (homogeneous, 1-order, linear, standard form)
[# y' + p(x)y = 0 #]
- 비제차형 (nonhomogeneous, 1-order, linear, standard form)
[# y' + p(x)y = r(x) #]
3. 1계 미분방정식의 풀이 형태별 구분적분 인자 법 (Method of Integrating Factors) ㅇ 1계 변수분리형 미분방정식
[# \frac{dy}{dx} = \frac{g(x)}{h(y)} \quad or \quad \frac{dy}{dx} = g(x)h(y) \quad or \quad g(x)dx + h(y)dy = 0 #]
- 변수별로 좌우 양변으로 분리한 후, 적분하여 를 구함 ㅇ 1계 완전미분형 미분방정식
[# M(x,y)dx + N(x,y)dy #]
ㅇ 기타 - 베르누이 방정식 - Riccati 방정식 4. 1계 미분방정식의 풀이 구성 ㅇ 1계 미분방정식 풀이 (해를 구하는 방법) - 변수분리법 - 라플라스변환 - 가상 해(지수함수)에 의한 방법 : 적분인자법 ㅇ 1계 미분방정식 해의 구성 - 미분방정식의 해 : 일반해 = 동차해 + 특수해 - 시스템 응답 : 완전응답 = 과도응답 + 정상상태응답 - 의미 : (완전응답) = (입력전원이 없는 경우) + (입력전원에 따른 부가적인 해) 5. 1계 미분방정식에 의한 물리계,전기계 표현 ※ ☞ 1차 시스템, 1차 회로 등 참조 - 자유 낙하 운동 : {# dv/dt = g - (c/m) \, v #} - 개체수 증가 모델 : {# dp/dt = rp - k #} * {# dy/dt = ay - b #}


[1계 미분방정식] 1. 1계 미분방정식 2. 변수 분리형 3. 동차형 4. 완전 미분형 5. 선형 미분방정식

 
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