1. 부울 대수 (Boolean Algebra)
ㅇ `2치 논리 계산`을 `집합 개념을 이용하여 형식화(기호화)시킨` 대수
- 2치(0/1,true/false,high/low등) 논리의 연산(AND,OR,NOT)을 다룸
. 2치 논리 기호 및 논리 연산자를 사용하여 논리 결과를 결정(판단)하게 됨
2. 부울 대수의 역사, 명칭, 의의
ㅇ (역사)
- 부울 대수는, 1847년경 George Boole(영국 수학자, 1815~1864)에 의해 창안됨
. 논리적 사고를 형식화함 즉, 언어 대신 기호를 사용하는 논리학을 발전시킴
- 1936년 Shannon이 석사논문에서 스위칭 회로의 설계에 부울 대수가 매우 유용함을 밝힘
. `A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits`
.. 스위칭 회로의 수학적 묘사인 스위칭 대수를 부울 대수에 의해 적용이 가능
ㅇ (명칭) 결국, 부울 대수 또는 부울 연산 = 논리 연산 ≒ 스위칭 대수
- 여기서, 부울 연산 (Boolean Operation), 논리 연산 (Logic Operation) 이란?
. 1 이상의 입력 논리값들로부터 새로운 논리값을 얻는 연산
ㅇ (의의) 부울 대수는,
- 비록 매우 단순한 대수 규칙이지만,
. 구성 요소 둘 : 1(true), 0 (false)
. 연산 셋 : AND, OR, NOT (이들이 전부임)
- 논리와 수학을 연결하여,
- 논리의 연산이라는 새로운 시각을 보여줌
* [참고] ☞ 수리 논리학 참조
. 논리의 엄격한 수학화를 통해, 결론에 이르는 추론 논리의 과학화 영역
3. 부울 대수의 특징
ㅇ 논리에 따른 입출력 관계를 수학적 집합 연산 개념과 유사하게 출력 논리값을 계산 함
- 합집합 : A ∪ B => OR : A + B
- 교집합 : A ∩ B => AND : A · B 등등
- 한편, 다음과 같은 논리 대수는 통상적인 대수와는 전혀 다름
. A + (B · C) = (A + B)·(A + C)
. A + A = A, A · A = A 등등
ㅇ 대수학, 부울대수 비교
- 상수 : (대수) 수많은 수치값 중 하나, (부울대수) '참','거짓' 논리값 중 하나
- 미지수 : (대수) x,y 등 일반 변수, (부울대수) X,Y,A,B 등 논리 변수
- 연산자 : (대수) 사칙 연산자 등, (부울대수) OR(+), AND(·), NOT(')
ㅇ 논리회로 표현/설계에 유용하게 활용 가능
- 기능 정의(요구사항) ⇒ 진리표 ⇒ 논리식(부울식) ⇒ 논리식의 간략화 ⇒ 논리회로
4. 부울 대수의 공리 및 표기
ㅇ 공리
- (합) 1 + 1 = 1, 0 + 0 = 0, 1 + 0 = 0 + 1 =1
- (곱) 0·0 = 0, 1·1 = 1, 0·1 = 1·0 = 0
- (부정) x = 0 이면 x'= 1, x = 1 이면 x'= 0
ㅇ 부울 대수의 표기 : B = (S, +, ·, ')
- 집합 S : 그 원소가 {`0`,`1`}로 만 된 부울대수 집합
- 논리 연산자 : (+), (·), (')
. 이항 연산자 : OR(+), AND(·)
. 단항 연산자 : NOT(')
5. 부울 대수의 활용 분야
ㅇ 컴퓨터 공학 등에서,
- 각 디지털 게이트의 연결 관계 및 논리 회로를 대수적 표현으로 나타내는데 이용됨
ㅇ 기타 분야로, 집합론, 수학적 논리 등에 활용됨