1. 부울 대수 (Boolean Algebra)
ㅇ `2치 논리 계산`을 `집합 개념을 이용하여 형식화(기호화)시킨` 대수
- 2치 논리(0/1,true/false,high/low등)의 연산을 다룸
. 2치 논리 기호 및 논리 연산자를 사용하여 논리 결과를 결정(판단)하게 됨
※ [참고] ☞ 수리 논리학 참조
- 논리의 엄격한 수학화를 통해, 결론에 이르는 추론 논리의 과학화 영역
2. 부울 대수의 역사 및 용어
ㅇ 부울 대수는, 1847년경 George Boole(영국 수학자, 1815~1864)에 의해 창안됨
- 논리적 사고를 형식화함 즉, 언어 대신 기호를 사용하는 논리학을 발전시킴
ㅇ 1936년 Shannon이 석사논문에서 스위칭 회로의 설계에 부울 대수가 매우 유용함을 밝힘
- `A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits`
. 스위칭 회로의 수학적 묘사인 스위칭 대수가 부울 대수에 의해 적용 가능
ㅇ 결국, 부울 대수 또는 부울 연산 = 논리 연산 ≒ 스위칭 대수
ㅇ 여기서, 부울 연산 (Boolean Operation), 논리 연산 (Logic Operation) 이란?
- 1 이상의 입력 논리값들로부터 새로운 논리값을 얻는 연산
3. 부울 대수의 특징
ㅇ 논리에 따른 입출력 관계를 수학적 집합연산 개념을 도입하여 출력 논리값을 계산 함
- (합집합,교집합,여집합)
ㅇ 대수학, 부울대수 비교
- 상수 : (대수) 수많은 수치값 중 하나, (부울대수) '참','거짓' 논리값 중 하나
- 미지수 : (대수) x,y 등 일반 변수, (부울대수) X,Y,A,B 등 논리 변수
- 연산자 : (대수) 사칙 연산자 등, (부울대수) OR(+), AND(·), NOT(') 등
ㅇ 논리회로 표현/설계에 유용하게 활용 가능
- 기능 정의(요구사항) ⇒ 진리표 ⇒ 논리식(부울식) ⇒ 간략화 ⇒ 논리회로
4. 부울 대수의 공리
ㅇ (합) 1 + 1 = 1, 0 + 0 = 0, 1 + 0 = 0 + 1 =1
ㅇ (곱) 0·0 = 0, 1·1 = 1, 0·1 = 1·0 = 0
ㅇ (부정) x = 0 이면 x'= 1, x = 1 이면 x'= 0
5. 부울 대수의 표기
ㅇ 표기 : B = (S, +, ·, ')
- 집합 S : 그 원소가 {`0`,`1`}로 만 된 부울대수 집합
- 논리 연산자 : (+), (·), (')
. 이항 연산자 : OR(+), AND(·)
. 단항 연산자 : NOT(')
6. 부울 대수의 `논리 변수`, `논리 연산`, `논리 표현식`
ㅇ (변수) 부울 변수 / 논리 변수 / 2치 변수 (Boolean Variable)
- 참(1) 또는 거짓(0) 만을 값으로 갖는 변수 => 비트(Bit)로도 나타낼 수 있음
ㅇ (연산) 부울 대수의 기본 논리 연산 셋 (Boolean Operation)
- 논리합,부울합 (OR,Union) : + 또는 OR 또는 ∨
- 논리곱,부울곱 (AND,Intersection) : · 또는 AND 또는 ∧
- 논리부정 (NOT,Negation,Inverse) : ' 또는 NOT
* 다른 연산자들은 이들로부터 확장됨
ㅇ (표현식) 부울 대수의 표현식 ☞ 부울식 (Boolean Expression) 참조
7. 부울 대수의 활용 분야
ㅇ 컴퓨터 공학 등에서,
- 각 디지털 게이트의 연결 관계 및 논리 회로를 대수적 표현으로 나타내는데 이용됨
ㅇ 기타 분야로, 집합론, 수학적 논리 등에 활용됨