Poisson Distribution   포아송 분포

(2020-02-02)

푸아송 분포

1. 포아송 분포 (Poisson Distribution)

  ㅇ 한정된 특정 구간(시간 또는 공간) 내 사건 발생 수가 따르는 확률분포
     - 주로, 시간적이나 공간적으로 발생 빈도가 낮은 희귀한 사건의 발생 수 등이 잘 설명됨

  ㅇ 프랑스 수학자,물리학자 포아송(Simeon -Denis Poisson,1781~1840)이 제시
     - 근대 확률론의 기초 확립, 포텐셜 개념 도입 등 기초 수학, 응용 수학에 걸쳐 폭넓은 업적


2. 포아송 분포의 전제조건

  ㅇ 독립성
     - 다른 구간(시간,공간)에서 발생하는 사상은 서로 통계적 독립
  ㅇ 일정성 
     - 단위 구간(시간,공간) 내 발생 확률은 동일
        . 例) 1 시간 60명 손님이면, 1분 1명,10분 10명,20분 20명 등
  ㅇ 비집락성
     - 2 이상의 사상이 극히 작은 구간(시간,공간)에서 동시 발생할 확률은 무시할 정도로 작음

  ※ 즉, 사건 발생이,
     - 서로 통계적 독립이고, 사건 발생 확률이 일정하며,
       아주 작은 구간(시간,공간) 내 동시 발생 확률은 미미함


3. 포아송 분포의 확률적 특징

  ㅇ 표기 : X ~ Poi(λ) 
     - 모수 λ(평균 발생 횟수)인 포아송 분포

  ㅇ 확률질량함수
      
[# p_X(x) = \begin{cases} \; \dfrac{λ^x e^{-λ}}{x!} & (x=0,1,2,\cdots,\;λ>0) \\ \\ \; 0 & (oterwise) \end{cases} #]
- 확률변수 x : 0,1,2,3, ...등 사건 발생 수 - 모수 λ : 평균 발생 횟수 . (평균 = 분산 = 모수 λ : 아래 참조) ㅇ 기대값
[# E[X] = \sum^{\infty}_{x=0} x \frac{λ^x e^{-λ}}{x!} = λ \sum^{\infty}_{x=1} \frac{λ^{x-1} e^{-λ}}{(x-1)!} = λ \sum^{\infty}_{y=0} \frac{λ^{y} e^{-λ}}{y} = λ \left( \left( \sum^{\infty}_{x=0} P_X(x) \right) = 1 \right) = λ #]
분산
[# Var[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \left(E[X(X-1)] + E[X]\right) - (E[X])^2 = λ^2 + λ - λ^2 = λ #]
- 여기서,
[# E[X(X-1)] = \sum^{\infty}_{x=0}\;x(x-1)\;\frac{λ^x e^{-λ}}{x!} = λ^2 \sum^{\infty}_{x=2} \frac{λ^{x-2}e^{-λ}}{(x-2)!} = λ^2 \sum^{\infty}_{y=0} \frac{λ^{y}e^{-λ}}{y!} = λ^2 #]
4. 포아송 분포와 타 확률분포 관계 ㅇ 포아송 분포는, - 이항 분포의 특수한 경우(극한 분포)로 유도될 수 있음 ㅇ 즉, 이항분포가 성공률이 작고 시행횟수가 클 경우에, 포아송 분포에 근사하게 됨 5. 포아송 분포의 응용 ※ 한정된 구간(시간,공간) 내 사건의 평균 발생 횟수(λ)를 알 때, - 그 사건이 몇회(x) 발생될 확률 P(X=x)을 구하는데 유용 . 시간당 손님의 방문 수, 월간 기계고장 횟수, 단위 길이당 균열의 발생 수 등과 같이, . 한정된 구간(시간,장소)에서 어떤 사건이 발생할 확률예측 ㅇ 즉, 포아송 분포 응용 例 - 단위시간당 교차로를 지나가는 자동차 대수 - 단위면적당 결점의 수 - 어떤 책의 임의 페이지에서 잘못 인쇄된 글자의 수 - 하루 동안 잘못 걸린 전화의 수 - 주어진 하루 동안 방문한 고객의 수 - 통신에서의 트래픽 등이 포아송 분포를 따르고 있다고 알려짐 . 트래픽량을 발생호수에 따라 실측표시하여 보면 그 분포가 근사적으로 포아송 분포 를 따르고 있음을 알 수 있음


[이산확률분포] 1. 이산확률분포 요약 2. 이산 균등분포 3. 베르누이 분포 4. 이항 분포 5. 음 이항 분포 6. 기하 분포 7. 초기하 분포 8. 포아송 분포 9. 다항 분포

 
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