Conditional Proposition   조건 명제

(2021-11-23)

조건 (Conditional), 함의 (Implication), 함의, iff, 필요충분조건, 필요조건, 충분조건

1. 조건 명제 (Conditional Proposition)가정 조건과 결론 조건을 연결하는 특정한 형태의 주장


2. 조건 명제의 표기 및 표현

  ㅇ (표기)  조건 (Conditional), 함의 (Implication)  :  →
     - `가정,전제 (hypothesis,antecedent)` → `결론,결과 (conclusion,consequent)` 
        . 이때, 내용적 연관성,인과관계를 완전히 무시하고, 
        . 오직, 순수한 형식적 연결 만을 따짐

     - 例) 명제 p → q 가 있다고 할 때,
        . p,q는, 개별 명제이며,
        . 가정인 p와 결론인 q는, 조건 이라고 하고,
        . 명제 p → q를 조건 명제 라고 함

  ㅇ (표현상 차이)  조건 및 함의의 표현 상의 구분  
     - `p 이면 (conditional) q 이다` (`if p then q`)  [조건(conditional)적 표현]
     - `p 는 q 를 함축 (imply) 한다` (`p imply q`)     [함의(implication)적 표현]

  ㅇ (영문 표현)
     -  "if p then q" (가설을 강조하는 형식)
     -  "p only if q" (결론을 강조하는 형식)
     -  "p imply q"   (암시/내포를 강조하는 형식)


3. 조건 명제진리표 (truth table of conditional proposition)

     

  ㅇ 전제 p가 거짓이면, 결론 q의 참과 거짓에 관계없이, 항상 참 임
     - 만일, 가정이 거짓이면, 나타난 결과가 어떻든, 이때의 진술(조건문)은 항상 참이 됨
  ㅇ 전제 p가 참이면, 결론 q가 참일 때 만, 참 임
     - 만일, 가정이 참이면, 나타난 결과가 참이어야 만, 이때의 진술(조건문)은 참이 됨
  ㅇ 전제 p가 참이고, 결론 q가 거짓일 경우에 만, 거짓 임
     - 만일, 가정이 참인데도 불구하고, 나타난 결과를 거짓으로 하면, 이 진술(조건문)은 거짓 임

  ※ (핵심 요약)
     - 전제 p가 거짓이거나, 결론 q가 참인 경우에만, 참 임
        . 즉, "(not p) or q"
     - 전제가 거짓이면, 결론이 참이든 거짓이든 관계없이, 항상 참 임


4. 필요조건 (necessary condition), 충분조건 (sufficient condition)

  ㅇ 만일, 조건 명제 p → q가 참이라면, p ⇒ q 라고 표기하고, 

     - 이때, 명제 p는, q가 되기위한 충분조건 이라고 함
        .  "p is sufficient for q"
     - 한편, 명제 q는, p가 되기위한 필요조건 이라고 함
        .  "q is necessary for p"


5. 필요충분조건 (necessary and sufficient condition) 

  ㅇ 만일, 쌍 조건 명제 p ↔ q가 참이라면, p ⇔ q 라고 표기하고,
     - 이때, p는, q가 되기위한 필요충분조건 이라고 함

  ㅇ 따라서, 필요충분조건은 다음과 같은 의미를 갖음
     - 둘 다 같음 
     - 즉, 가정 명제와 결론 명제가 동일함
     - 함의와 그 역이 동시에 성립
     - 논리동치 (Logically Equivalent)

  ㅇ 필요충분조건의 표기  :  ⇔ , iff, if and only if

  ㅇ 필요충분조건(쌍 조건 명제)의 진리표
       
     - 즉, 둘 다 참이거나 거짓일 때 만, 참으로 간주됨


6. [참고사항]

  ㅇ (연산자 우선순위 낮음)
     - 연산자 (→)는, 연산자 논리곱(∧),논리합(∨),논리부정(¬) 보다,
       연산자 우선순위가 낮은(늦은) 것으로 함

  ㅇ (정리,증명에의 적용)
     - `중요한 논리적 함의`는 종종,  `정리(Theorem)`라고 부르며,
     - `정리라는 논리적 함의의 타당성을 확립하는 것`을,  `증명(Proof)` 이라고 함


[수리논리(논리기호 등)] 1. 수리 논리학 2. 논리식 3. 조건 명제 4. 부정 5. 논리합,논리곱 6. 한정사
  1.   기술공통
  2.   기초과학
        1. 과학
    1.   수학
          1. 수학
      1.   기초수학
      2.   집합,논리
        1.   집합
        2.   논리
              1. 논리
              2. 명제(proposition)
              3. 술어(predicate)
              4. 공리(axiom)
              5. 정리(theorem)
              6. 정의(definition)
              7. 동치(equivalence)
          1.   추론,논증
          2.   수리논리(논리기호 등)
            1.   1. 수리 논리학
                2. 논리식
                3. 조건 명제
                4. 부정
                5. 논리합,논리곱
                6. 한정사
        3.   관계
      3.   해석학(미적분 등)
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      5.   확률/통계
      6.   수치해법
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  10.   기술경영

 
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