군의 종류

(2020-03-28)

Cyclic Group, 순환 군, Semi-group, 반군, Monoid, 모노이드, Permutation Group, 치환 군

1. ( 보다 약한 공리를 갖는 군들)

  ㅇ 반군 (半群, Semi Group) : 결합적 이항연산을 갖는 집합 
     - 하나의 이항연산(덧셈)에 대해 `닫힘성` 및 `결합법칙` 만이 성립

  ㅇ 모노이드 (Monoid)       : 이항연산에 대해 항등원을 갖는 반군
     - 반군에 추가적으로 항등원도 갖는 경우
        . 例) `0`과 자연수 전체의 집합은, 
           .. 자연수는 덧셈에 대해 반군 구조(닫힘성,결합법칙 성립)이며,
           .. 이에 항등원 0도 갖게되면, 모노이드가 됨

  ㅇ 한편, 모노이드에 추가적으로, 임의 원소의 역원까지도 갖으면, => 군(群)이 됨
     * 즉,  반군 < 모노이드 < 군


2. 의 종류

  ㅇ 유한 군, 무한 군 
     - 유한 군 (Finite Group)   : 의 원소 개수가 유한 
     - 무한 군 (Infinite Group) : 의 원소 개수가 무한
     * 원소의 개수 => 위수 (Order)

  ㅇ 순환 군 (Cyclic Group)
     - 한 원소로 의 모든 원소를 나타낼 수 있는 
        . 즉, G = { an | n ∈ ℤ }이 되는 원소 a가 존재하는 
           .. 이 때 원소 a를 생성원(generator)라고 함 
     - 표기
        . 원소 a에 의해 생성되는 순환군 G = < a >
        . 위수 n인 순환군 Cn
     * 순환군은  중에서 가장 간단한 구조를 갖음

  ㅇ 덧셈 군(Additive Group), 곱셈 군(Multiplicative)
     - 덧셈 군 : 이항 연산이 덧셈 연산
        . 이때의 항등원을 1 로 나타냄
     - 곱셈 군 : 이항 연산이 곱셈 연산
        . 이때의 항등원을 0 로 나타냄

  ㅇ 가환군(Communtative Group) 또는 아벨군(Abelian Group)
     - 에 관한 4가지 공리에다가 추가적으로,
     - 교환법칙도 만족하는 부분 군(Subgroup) 
     - 군 G의 부분집합으로 군 G와 같은 연산 구조를 갖는 군


3. 대칭 방정식의 풀이가능성(가해성,Solvability)과 관련되어 핵심적인 수학적 요소

  ㅇ 치환  (Permutation Group)
     - 치환(Permutation) : 집합 A 위에서 전단사함수
     - 치환 군(Permutation Group) : 합성함수 연산에 의해 이 되는 A의 치환들의 모임
        . 집합 A에서 자기자신으로 가는 전단사 함수들의 


[군(Group)] 1. 군(Group) 2. 군의 종류 3. 가환군 4. 부분군 5. 대칭성 6. 대칭 조작 7. 치환 8. 군 용어

 
        최근수정     요약목록     참고문헌