Surface   곡면, 표면

(2019-11-14)

Cylindrical Surface, 주면, Quadratic Surface, 2차 곡면, Spherical Surface, 구면

1. 곡면 (Surface, 曲面) 이란?

  ㅇ 직관적으로는, 입체의 표면을 말함
     - 평면을 포함하나,
     - 주로, 평면 처럼 평평하지 않고 굽은 면을 총칭

  ㅇ [물리/화학]  계면(界面) 
     - 여러 다른 상(相) 사이에 생기는 경계면 (Inter Phase)
        . 서로 다른 재료의 표면들이 만나는 곳

  ㅇ [수학]
     - 굳이, 어떤 것의 표면일 필요는 없으며,
     - 대개, 매개화된 곡선(Parametric Curve) 처럼 매개화된 곡면(Parametric Surface)을 말함


2. 구면 (Spherical Surface, 球面)공간정점(곡률 중심점)을 중심으로 일정 거리에 있는 점들의 전체 집합
     - 반지름(Radius)  : 구면과 곡률중심점 사이의 거리
     - 곡률(Curvature) : 반지름의 역수

  ㅇ 3 차원 구면 방정식
     - 중심이 C(h,k,l)이고, 반지름 r인 구면 방정식
         {# (x-h)^2 + (y-k)^2 + (z-l)^2 = r^2 #}

     - 중심이 원점인 구면 방정식
         {# x^2 + y^2 + z^2 = r^2 #}


3. 주면, 2차 곡면

  ㅇ 주면 (Cylindrical Surface)
     - 평면곡선에 수직하게 공간쪽으로 퍼진 곡면
     - 포물주면 (Parabolic Cylinder) : 같은 포물선이 무수히 많이 복사되어 만들어진 곡면

  ㅇ 2차 곡면 (Quadratic Surface) 
     - 3차원 공간에서, 세 변수(x,y,z)에 대한 이차 방정식으로 나타낼 수 있는 곡면
        . 즉, 2차 형식(Quadratic Form)의 방정식으로 표현되는 곡면
        . {# ax^2 + by^2 + cz^2 + 2dxy + 2exz + 2fyz + gx + hy + iz + j = 0 #}

     - 특징
        . 모든 곡면은 축에 대칭적임
        . 대부분, 폐 곡면(Closed Surface)을 이룸


4. 2차 곡면의 표준 기본형 6가지 例타원면 (Ellipsoid)
       
[# \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 #]
- (대칭적) . {# x^2,y^2,z^2 #}을 포함하므로, xy,yz,zx 평면에 대해 대칭적임 . 또한, 원점에 대해서도 대칭적임 - xy,yz,zx 평면과의 교선이 타원이 됨 - 한편, 구면은 타원면의 특별한 경우로 간주됨 ㅇ 타원 포물면 (Elliptic Paraboloid)
[# \frac{z}{c} = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} #]
- 수평 투영은, 타원이 되고, 수직 투영은, 위로 열린 포물선이 됨 ㅇ 쌍곡 포물면 (Hyperbolic Paraboloid)
[# \frac{z}{c} = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} #]
- 원점 근처의 곡면이 말 안장 처럼 생김 ㅇ 원뿔면 (Conic Surface)
[# \frac{z^2}{c^2} = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} #]
ㅇ 일엽 쌍곡면 (Hyperboloid Of One Sheet)
[# \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1 #]
- 잘롯한 허리를 갖음 ㅇ 이엽 쌍곡면 (Hyperboloid Of Two Sheet)
[# \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1 #]
※ [그림참고] ☞ http://www.supermath.info 참조


[직선,곡선,평면,곡면] 1. 직선 2. 곡선 3. 평면 4. 곡면 5. 매개 곡선 6. 원뿔 곡선 7. 타원 8. 쌍곡선 9. 이심률 10. 곡률 11. 편평률 12. 사이클로이드

 
        최근수정     요약목록     참고문헌