Polynomial Ring   다항식 환

1. 다항식 환(Ring)

  ㅇ 실수 또는 복소수를 계수로 하고 변수가 하나인 다항식에 대한 추상대수학적 관점

  ㅇ 주어진 환 R의 원소들로 계수를 갖고, 변수 x와 결합되어 나온 모든 다항식의 집합 => R[x]
     - 이때, 다항식 각 항끼리의 합,곱이 다시 그 집합 위에 성립되며 더 큰 환을 형성함
        . 즉, 통상적인 다항식 간 합,곱 결과로써 나타난 다항식들의 집합도 환을 형성함 

     - 여기서, 환 R은 다항식환 R[x]의 부분환(Subring) 임


2. 다항식 환 표현

  ㅇ 표기 : R[x]
     

  ㅇ 부정원 x 
     - 사실상, 부정원(indeterminate) x는 변수의 역할 이라기 보다는, 
        . 환 R의 원소들 즉 계수 a0,...,an들을 분리시키고 그 위치를 나타내기 위함
     - 한편, 부정원은 환 R의 원소에 속하지 않음

  ㅇ 계수 a0,...,an 
     -  환 R 에 속하는 원소 
        . 한편, 같은 원소가 중복되어 다항식을 나타내어도 가능
     -  a0 : 상수항(constant term)
     -  an : 선두계수(leading coefficient) 또는 최고차계수

  ㅇ ai의 첨자(index) 및 xi의 지수(指數)
     -  i = 0,1,...,n (유한 정수 이어야 함)

  ㅇ 차수(degree)
     -  x의 최고차 지수/승수/멱(Power)
     -  차수의 표기 : deg [f(x)] 
        . 例) 상수 다항식의 차수 : deg [f(x)=a0] = 0
           .. 환 R의 원소는 사실상 상수 다항식 임
        . 例) 영 다항식의 차수   : deg [0] 은 정의되지 않음

     - 한편, 차수가 무한대인 다항식은 멱급수이며 다항식이라고 하지 않음


3. 다항식 환 例

  ㅇ ℤ[x] : 정수를 계수로 하고 부정원 x에 대한 다항식 환
     - ℤ2[x] : 정수 0,1를 계수로 하고 부정원 x에 대한 다항식 환
        . 상수 다항식 例 : 0, 1
        . 1차 다항식 例  : x, x + 1
        . 2차 다항식 例  : x2, x2 + 1, x2 + x, x2 + x + 1

  ㅇ ℚ[x] : 유리수를 계수로 하고 부정원 x에 대한 다항식 환


4. [참고사항]

  ㅇ 모닉 다항식(monic polynomial)
     - 최고차 항 계수가 1(unity) 인 다항식

  ㅇ 원시 다항식(primitive polynomial)
     
     - 계수 a0,...,an-1의 최대공약수가 1일 때의 다항식

  ㅇ 약분(인수분해) 가능 여부
     * 기약(irreducible), 가약(reducible)
        . 기약        : 더 이상 약분할 수 없음
        . 가약        : 그 이상 약분 가능

     - 기약 다항식 (irreducible polynomial)
        . 지정된 계수 범위에서는 더 이상 인수분해되지 않는 다항식
        . 例) 모든 일차 다항식은 모두 기약 다항식 임
     - 가약 다양식 (reducible polynomial)
        . 지정된 계수 범위에서 그 이상 인수분해되는 다항식

  ㅇ 두 다항식 간 곱의 특징
     - 일반적으로, 두 다항식 간 곱은 역원을 갖지 않음
     - 두 다항식 간 곱 결과 표현식에서, 계수들은 콘볼루션 합(Convolution Summation) 형태가 됨