Matrix Decomposition, Matrix Factorization   행렬 분해, 행렬 인수분해

(2018-07-28)

SVD, 특이값 분해

1. 행렬 분해 (인수분해)행렬을 특정 구조를 갖는 2 이상의 다른 행렬들의 곱으로 나타내는 것


2. 행렬 분해 종류LU 분해 (LU Decomposition, LU Factorization)
     - 계수행렬하 삼각행렬상 삼각행렬의 곱으로 분해

     -  A = L U
        . L은 하 삼각행렬 (가우스소거법에 의해 변환된 행사다리꼴 행렬)          
        . U는 상 삼각행렬

  ㅇ QR 분해
     - 직교행렬상 삼각행렬의 곱으로 분해

     -  A = Q R
        . Q는 정규직교 열벡터를 갖는 행렬
        . R는 가역행렬상 삼각행렬행렬의 대각화 (Diagonalization)
     - 정방행렬의 대각화 분해

     -  A = P D P-1스펙트럼 분해 (Spectral Decomposition)
     - 1개 행렬을 여러 개의 행렬의 합으로 분해

  ㅇ 고유값 분해 (EVD, Eigenvalue Decomposition)
     - 모든 대칭행렬 A는 다음과 같이 분해 가능 

     -  A = P D PT
        . P : 대칭행렬 A의 고유벡터로 이루어진 n x n 직교행렬
        . D : 주대각성분이 P의 열벡터에 대응하는 A의 고유값대각행렬

     - 선형독립인 n x n 정방행렬에 만 적용 가능

  ㅇ 특이값 분해 (SVD, )
     - 직교 정사각행렬고유값을 기저로 하여 대각행렬로 분해

     - n x n 정방행렬이 아닌 일반적인 m x n 행렬을 분해

     -  A = U Σ VT
        . A : m x n 행렬, U : m x m 정방행렬, Σ : m x n 행렬, VT : n x n 정방행렬
        . L,U 는 직교행렬 (U ∈ Rmxm, U ∈ Rnxn)
        . Σ는 주대각성분이 A의 특이값이고 나머지 성분이 0인 행렬 (Σ∈ Rmxn)


[선형대수 수치방법] 1. 행렬 분해 2. LU 분해

 
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