Space   공간

(2019-01-19)

n-dimensional Space, n차원 공간, n차원 벡터공간, Coordinate Space, 좌표 공간, Hyperplane, 초평면

1. 공간 (空間, Space)

  ㅇ [물리학적 공간]
     - 빈 공간이라기 보다는 물성(물리량)을 정의하거나 나타낼 수 있는 공간 ☞ 장(場)

     * 한편, 자유 공간은,
        . 흡수,반사,굴절 등과 같이 매질 방해요소가 없는 공간으로써,
        . 물리적/수학모델화를 위한 개념

  ㅇ [수학적 공간] 
     - 기하학도형(圖形) 및 대수학수(數)의 성질 모두를 갖는 추상적구조물
        . 기하학적인 개념을 빌린 대수적인 용어 표현

     * 수학적 공간의 특징
        . (닫힘성질)
           .. 집합과 비슷한 의미이나, 
           .. 집합의 원소에 연산이 정의되고, 연산 결과가 다시 그 공간에 속해짐
        . (어떤 규칙을 갖는 추상적 구조물)
           .. 만일, 공간이 대수적 규칙을 따르지 않으면 단지 수(數)를 흩뿌린 것에 불과함
        . (그 성분이 일반적임)
           .. 수(數),함수,벡터,행렬 일수도, 심지어 더 일반적인 것일수도 있음


2. `공간`, `집합`, `생성` 비교집합 : 범위가 확정된, 구체적인 대상이 정해진 어떤 요소들의 모음
  ㅇ 공간 : 집합의 요소들이 어떤 대수적 구조를 갖는 틀 내에서 그려내는 공간
  ㅇ 생성 : 집합이 어떤 규칙에 따라 공간을 생성함


3. n 차원 공간 (n-dimensional Space)

  ㅇ n 차원 실수 공간  Rn
     - n개 실수 성분으로 이루어진 모든 n 순서쌍 (x1,x2,...,xn) 벡터들의 집합
        .  x = (x1,x2,...,xn)
        .  Rn = { x | xi ∈ R, i=1,2,...,n}
           ..  여기서, xi좌표(coordinate),성분(component),원소(element) 등으로 불리움
     - 例)
        .  R1 : 대수적으로 실수 집합  (기하학적으로 직선)
        .  R2 : 대수적으로 실수들의 순서쌍 집합  (기하학적으로 평면)
        .  R3 : 대수적으로 실수들의 3개 순서쌍 집합  (기하학적으로 공간)
        .  R4 : 4 이상의 고 차원 공간(high-dimensional space)

  ㅇ n 차원 복소수 공간  Cn
     - n개 복소수 성분으로 이루어진 모든 n 순서쌍 (z1,z2,...,zn) 벡터들의 집합
        .  z = (z1,z2,...,zn)
        .  Cn = { z | zi ∈ C, i=1,2,...,n}

  ㅇ n 차원 벡터공간벡터 공간(Vector Space) 참조
     - n 차원 벡터 (n-dimensional Vector)
        .  n 개의 수로된 순서쌍(n-tuple)
          

     - n 차원 벡터공간 (n-dimensional Vector Space)
        . 모든 n 차원 벡터들로 만들어지는 공간
        . 例)  n개의 실수 성분으로 구성된 공간 Rn = { x | xi ∈ R, i=1,2,...,n}

     - n 차원 일반 벡터 공간(추상적 공간)  Vn
        . 실 벡터 공간(real vector space)
           .. 실 벡터 공간   : 벡터공간에서 스칼라가 실수인 공간 ( R로 표시됨)
        . 복소 벡터 공간(complex vector space)
           .. 복소 벡터 공간 : 벡터공간에서 스칼라복소수인 공간 ( C로 표시됨)


4. 유클리드 공간 (Euclidean Space)유클리드 기하학의 5개 공준(공리)이 성립되는 공간
     - 경험적 유클리드 공간 : E3
        . 세 실수 순서쌍 a = (a1,a2,a3)의 집합
           .. 3 차원 이하의 형상을 하는 실수들 만으로 이루어진 공간


5. 좌표 공간 (Coordinate Space)좌표가 도입된 공간
     - 통상, 좌표계가 정의되어 있는 3 차원 공간 (경험적 유클리드 공간)


6. 확률 공간 (Probability Space)

  ㅇ (표본공간 Ω, 사건공간 F, 확률측도 P) 로 구성되는 전체 공간
     - 확률공간은, 통상적으로 (Ω, F, P)로 표시


7. 초평면 (Hyperplane)

  ㅇ 2차원에서 정의되는 `평면(plane)`이라는 것이, 
     - 고차의 n차원 공간 Rn에서는 `초평면(Hyperplane)`이라고 함

  ㅇ 특징 : 해당 공간을 둘로 분할하는 평면


[벡터 공간] 1. 벡터 공간 2. 부분 공간 3. n 차원 공간
[벡터 부분공간] [벡터공간 특성] [내적 공간]
  1.   기술공통
  2.   기초과학
        1. 과학
    1.   수학
          1. 수학
      1.   기초수학
      2.   집합,논리
      3.   해석학(미적분 등)
      4.   대수학
            1. 대수학
        1.   기초대수학
        2.   정수론(수론)
        3.   선형 대수학
              1. 선형대수
          1.   벡터
          2.   행렬
          3.   벡터 공간
                1. 벡터 공간
                2. 부분 공간
                3. n 차원 공간
            1.   벡터 부분공간
            2.   벡터공간 특성
            3.   내적 공간
          4.   고유값문제
          5.   선형변환
          6.   직교성,대각화
          7.   선형대수 수치방법
        4.   추상대수학
      5.   확률/통계
      6.   수치해법
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  9.   표준/계측/품질
  10.   기술경영

 
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