First-order Differential Equation   1계 미분방정식

(2019-09-10)

1계 선형 미분방정식

1. 1계 미분방정식 (First-order Differential Equation)

  ㅇ 최고 계수미분항(도함수)이 1계 미분미분방정식


2. 1계 미분방정식을 나타내는 여러 표현 형태들음함수형 표현 :  F(x,y,y') = 0
     - 종속변수 y가 독립변수 x와 분리되지 않고, x와 y 간의 관계를 통해서 묵시적으로 표현이 됨

  ㅇ 양함수형 표현 :  y'+ P(x)y = Q(x)
     - 종속변수 y가 독립변수 x로부터 직접 산출될 수 있는 형태

  ㅇ 2 변수 함수 표현 :  dy/dx = f(x,y)

  ㅇ 일반형 표현 :  a1(x) dy/dx + a2(x) y = g(x)
     - 제차 1계 미분방정식형 표현 : a1(x) dy/dx + a2(x) y = 0 
     - 비제차 1계 미분방정식형 표현 : a1(x) dy/dx + a2(x) y = g(x)

  ㅇ 표준형 표현 :  dy/dx + p(x) y = r(x)
     - 제차 1계 선형 미분방정식 표준형 (homogeneous, 1-order, linear, standard form)
        .  y' + p(x) y = 0
     - 비제차 1계 선형 미분방정식 표준형 (nonhomogeneous, 1-order, linear, standard form)
        .  y' + p(x) y = r(x)


3. 풀이를 위한 1계 미분방정식 형태 구분

  ㅇ 1계 변수분리형 미분방정식
      
[# \frac{dy}{dx} = \frac{g(x)}{h(y)} \quad or \quad \frac{dy}{dx} = g(x)h(y) \quad or \quad g(x)dx + h(y)dy = 0 #]
- 변수별로 좌우 양변으로 분리한 후, 적분하여 를 구함 ㅇ 1계 완전미분형 미분방정식 ㅇ 기타 - 베르누이 방정식 - Riccati 방정식 4. 1계 미분방정식 해 ㅇ 1계 미분방정식에서 해를 구하는 방법 - 변수분리법 - 라플라스변환 - 가상 해(지수함수)에 의한 방법 등 ㅇ 1계 미분방정식 해 (1차 시스템 응답) 구성 - 미분방정식의 해 : 일반해 = 동차해 + 특수해 - 시스템 응답 : 완전응답 = 과도응답 + 정상상태응답 - 의미 : (완전응답) = (입력전원이 없는 경우) + (입력전원에 따른 부가적인 해) 5. 1계 미분방정식에 의한 물리계,전기계 표현 ※ ☞ 1차 시스템, 1차 회로 참조


[1계 미분방정식] 1. 1계 미분방정식 2. 변수 분리형 3. 동차형 4. 완전 미분형 5. 선형 미분방정식
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