Limit, Continuity   극한, 연속

(2020-08-31)

Limit Value, 극한값, Indeterminate Form, 부정형

1. 극한에 대한 직관적 정의

  ㅇ 극한 (Limit) 또는 극한값 (Limit Value) 이란?
     - 일변수 함수의 극한
        . x가 a에 한없이 가까워질 때, 함수값 f(x)가 어떤 극한(값) L이 됨
             
[# \lim_{x \to a} f(x) = L #]
- 이변수 함수의 극한 . (x,y)가 (a,b)에 한없이 가까워질 때, 함수값 f(x,y)가 어떤 극한(값) L이 됨
[# \lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = L #]
※ 극한의 유용성 - 독립변수가 어떤 값에 접근할 때, 그에따른 함수변동성을 서술하는데 유용 ※ 극한 개념의 응용 - 곡선접선 등을 구하기 위해 필요함 - 움직이는 물체의 순간 속도(순간 변화율)을 알아내기 2. 극한의 존재성(Existence) ㅇ 극한이 존재하면, ⇒ 미분가능 하다고 함 - 즉, 극한의 존재는 함수 f가 점 a에서 미분가능(f is differential at a) 함을 의미 . 이 경우, 함수가 갑자기 점프하거나,한없이 증가 또는 감소하는 등을 하지 않음 ㅇ 극한의 존재성 확인 - 좌극한과 우극한이 같아야 함 ※ 한편, limx→0 sin x / x = 1 과 같은 경우를 증명하려면, - 극한에 대한 더욱 엄밀한 증명이 필요함 3. 극한과 연속 ㅇ 연속 (Continuity) - 극한과 함수값이 같으면, 함수는 그 점에서 연속임
[# \lim_{x \to a} f(x) = f(a) #]
※ 연속과 극한의 개념은 서로 밀접하게 맞닿아있음 4. 극한과 발산,수렴발산(Divergence) - 만일, 극한이 무한으로 커지면, 발산 한다고 함 ㅇ 수렴(Convergence) - 만일, 극한이 어떤 값에 한없이 가까워지면, 수렴 한다고 함 5. 극한의 성질(법칙) ㅇ 합의 법칙 : ㅇ 차의 법칙 : 상수 곱셈의 법칙 : ㅇ 곱의 법칙 : ㅇ 몫의 법칙 : 6. 부정형 (Indeterminate Form)함수의 극한을 구할 때, 분모/분자 또는 곱해지는 또는 지수 항이 0 또는 ∞이 되어서, 함수의 극한을 쉽게 결정할 수 없는 형태들을 말함 - f(x)/g(x) => 0/0, ∞/∞ - f(x)·g(x) => 0·∞ - f(x) - g(x) => ∞ - ∞ - [f(x)]g(x) => 00, ∞0, 1


[극한,연속,발산] 1. 극한,연속 2. 발산 3. 중간값 정리

 
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