Chi-square Distribution   카이제곱 분포, 카이자승 분포

(2020-02-04)

χ² Distribution, χ² 분포

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  9. 와이블 분포
  10. 카이제곱 분포(χ² 분포)
  11. t 분포

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  2. 표본분포의 통계적 특성
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  5. Z 분포
  6. χ² 분포

1. 카이제곱 분포표준정규분포와 관련이 있음
     - 각각 독립인 표준정규분포를 취하는 확률변수 Zi의 제곱의 합 X가 따르는 확률분포
        . X = Z12 + Z22 + ... + Zn2표본분산확률분포(표본분포)가 카이제곱 분포를 따름

  ㅇ 활용                                                              ☞ 카이제곱 검정 참조
     - 표본 분산을 통한 모 분산에 대한 추론(검정,추정)
        . 표본크기 n일 때, 표본분산(s2)의 표본분포가 (n-1) 자유도를 갖는 카이제곱 분포를 띔
     - 분포 간의 차이
     - 범주형 자료의 분석 등에 많이 사용됨


2. 카이제곱 확률분포의 형태

  ㅇ (자유도에 따라 모양 달라짐)
     - 자유도 1에서, 확률변수 X = Z2가 카이제곱 분포를 따르게 됨
     - 자유도 n으로 일반화하면, X = Z12 + Z22 + ... + Zn2

     * 여기서, (Zi : 서로 독립인 표준정규분포를 띄는 표준화 변량)

     

  ㅇ (비 대칭적인 모양)
     * 즉, 자유도 n에 따라, 확률분포의 형태가 다르게 결정되는, 비대칭적인 분포
     - 자유도 n이 작을수록, 왼쪽으로 치우치는 비대칭 모양
        . 0 주변에 데이터가 집중되는 경향
        . 원점에서 양의 축 방향으로 늘어진(긴 꼬리를 갖는) 곡선을 갖는 형태를 띔
     - 자유도 n ≥ 3 부터, 단봉 형태(unimodal shape : 최고점이 1개인 분포)
     - 자유도 n이 클수록, 정규분포근사됨

  ※ 1900년에 영국 통계학자인 칼 피어슨에 의해 유도되었음


3. 카이제곱 분포의 확률변수표준화 변량 Z 과의 관계 (카이제곱 확률변수 = 표준화 확률변수의 제곱 합)
       
[# \sum^{n}_{i=1} Z_i^2 = \sum^{n}_{i=1} \left[ \frac{X_i-μ}{σ} \right]^2 = χ^2#]
표본 분산에 대한 모 분산 비율 : {# χ^2 #}
[# χ^2 = n \frac{s^2}{σ^2} \; \sim \; n #]
- χ2의 크기는, 표본분산(s2)이 모집단 분산2) 보다, . 비슷해지면, 자유도 n 에 가까워짐 . 작아지면, 자유도 n 보다 작아져 분포 왼쪽 꼬리가 0 에 접근 . 커지면, 자유도 n 보다 커져서 분포 오른쪽 꼬리가 늘어짐 4. 카이제곱 분포의 확률적 특성 ㅇ 표기 : X ~ χ2(n) - t 분포 처럼 자유도 n 이라는 1개의 모수를 갖음 - 모수 n(자유도)에 따라 달라지는 분포 곡선군을 갖음 ㅇ 확률밀도함수
[# f(x) = \frac{1}{Γ(n/2)2^{n/2}} \; x^{n/2 -1} \; e^{-x/2} \quad (x>0) #]
기대값 : {# E[χ^2] = n #} ㅇ 분산 : {# Var[χ^2] = 2n #} ㅇ 적률 적률생성함수 ㅇ 카이제곱 분포와 타 분포와의 관계 - 감마분포에서 α= n/2, β= 2 인 특별한 경우 임 . X ~ Gam(α,β) ↔ Y = 2X/β ~ χ2(2α) ㅇ 카이제곱 분포의 가법성 - Y = X1 + X2 ~ χ2(n1 + n2)


[연속확률분포] 1. 연속 확률분포 요약 2. 연속 균등분포 3. Rayleigh 분포 4. Rician 분포 5. 감마 분포 6. 베타 분포 7. 지수 분포 8. 얼랑 분포 9. 와이블 분포 10. 카이제곱 분포(χ² 분포) 11. t 분포

 
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