Numerical Analysis, Numerical Method, Computational Method   수치 해석, 수치 해법

(2020-08-30)

Exact Solution, 엄밀 해, 정확한 해, Numerical Solution, 수치적 해

1. 수치 해석 (Numerical Analysis,Numerical Method,Computational Method)

  ㅇ 합리적인 수준의 오차를 갖는 근사값(수치적 해)을 구하는 알고리즘/단계/과정을 찾음
     - 정확한 해(解) 또는 최소,최대에 근접하는 수치적 근사값(결과)을 구하려는
       체계적인 기법

  ㅇ 수학적 모델링시뮬레이션을 통해 반복 실험의 대체 수행에 필수적인 학문 분야
     - 수치적 를 구하는 알고리즘을 분석,개발,연구,발전시키는 학문
     - 의 존재성을 구체적으로 구성,증명하는 방법을 제시
     - 수치적 를 구하는 알고리즘수렴속도,안정성 도모 등을 해석적으로 분석

  ※ [참고] 수치적 ↔ 해석적


2. 수치해석 상의 제한(고려) 요소

  ㅇ 수치의 정도가 유한 함 
     - 이에따라, 오차(절단 오차,반올림 오차)의 최소화 필요
     - 따라서, 수치적으로 구해지는 의 본질 및 그 전달에 대해 살펴보아야 함

     * [참고]  근사적인 수치 적용의 부정확성 구분
        . 모델링 오차 : 잘못된 수학적 모델링을 적용함으로 인해 발생하는 오차
        . 절단오차   : 수학모델의 불완전성에 따른 오차
        . 반올림오차 : 컴퓨터 근사에 의한 수치해법 상의 오차

  ㅇ 계산량,메모리량을 줄여야 함
     - 이에따라, 계산 복잡도의 최소화 필요


3. 주요 수치해석 문제들

  ※ 대부분, 근사적인 를 구하는 문제 임
     - 그 차이로는, 주로 근사 를 구하는데 필요한 방정식을 유도하는 방식이 각기 다름

  ㅇ 방정식근 구하기 (Method for Root of Equation)
     - 例) 이분법, 뉴턴법, 할선법 등

  ㅇ 곡선 적합 (Curve Fitting)
     - 데이터들을 어떤 적합한 곡선(추정 곡선/함수)으로 맞추는 것
        . 例) 보간법 등

  ㅇ 선형 연립방정식 해법 (행렬 응용)
     - 직접법 : 크래머법, 가우스소거법, LU 분해법 등
     - 반복법 : Jacobi법, Gauss-Seidel법, SOR법 등

  ㅇ 미분 => 차분법적분 => 구분구적법 등

  ㅇ 미분방정식/적분방정식
     * 복잡한 미분방정식/적분방정식을 이에 상응하는 연립대수방정식으로 바꾸어 수치적으로 풀이
     - 유한차분법 (Finite Difference Method)
        . 시간 관점의 이산적 수치해법
     - 유한요소법 (Finite Element Method)
        . 공간 관점의 이산적 수치해법
     - 유한체적법 (Finite Volume Method)
        . 원래 미분 방정식을 각 격자마다 공간 적분해서 변형하여 풀이
           .. 구하는 양의 시간적 변화를 격자의 경계선을 통과하는 유속으로 표현

  ㅇ 최적화 문제 (Optimal Problem)


4. 엄밀 해, 근사 해/수치 해

  ㅇ 엄밀 해/정확한 해 (Exact Solution) 또는 해석적 해 (Analytic Solution)
     - 일반 공식으로 표현되는 구체적인 함수를 제시하는 해석적 해  

  ㅇ 수치 해 (Numerical Solution)
     - 방정식 해를 구할 때, 구체적인 함수를 제시하는 해석적 해를 구하는 대신에,
       수치적인 방법으로 구해지는 근사값

  ※ 오차에 대한 접근 방식
     - 대부분의 공학 문제에서, 해석 해를 구할 수 없고, 그에따라 정확한 오차도 모름
     - 따라서, 오차에 대해서도, 근사값(근사오차)/추정값/예측값으로 문제를 다뤄야 함


[수치해법] 1. 수치 해석 2. 천장,마루 함수 3. R 언어 4. 유한요소법
[오차] [근 찾기] [곡선적합 (근사)] [수치 미분/적분] [수치 미분방정식] [MATLAB] [R 언어]

 
        최근수정     요약목록     참고문헌