Field (체), Field Axiom   체 (Field), 체 공리

(2020-03-16)

체 [Field], 체 [수학]

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1. 체 (Field)

  ㅇ 원소들 간의 덧셈,곱셈 등의 연산 결과가 다시 그 안에 있는 (닫힘성)을 갖는 대수적 구조

  ㅇ 쉽게,
     - 원소들이 집합을 이루면서,
     - 덧셈과 곱셈 연산 두 쌍(2개 연산자 사용)을 자유롭게 사용할 수 있고,
     - 각 원소가 0이 아닌 원소로 나눌 수 있는(곱셈 역원 존재) 대수적 구조 

  ㅇ 체의 응용 例)
     - 실수 R, 유리수 Q, 복소수 C 와 같은 수 집합 체계에 대한 추상화에 유용함
        . 즉, 유리수 집합을 체로서 다룰 때는 유리수 체라고 하는 등

  ㅇ 체의 표기 : F


2. 체 공리 (Field Axiom) 

  ㅇ 덧셈 연산(+)에 대해 :  ( F, + )
     - ①  닫혀있음 (closure) : 집합 내 원소의 연산(+) 결과가 다시 그 집합 내에 있게됨
     - ②  덧셈 항등원(`0`)이 존재 (identity) : a + 0 = a = 0 + a
     - ③  모든 성분에 대해 덧셈 역원이 존재 (inverse) : a + (-a) = 0 = (-a) + a
     - ④  모든 성분에 대해 결합법칙이 성립 (associativity) : (a + b) + c = a + (b + c)
     - ⑤  모든 성분에 대해 교환법칙이 성립 (commutativity) : a + b = b + a

  ㅇ 곱셈 연산(x)에 대해 :  ( F, · )
     - ⑥  닫혀있음 (closure) : 집합 내 원소의 연산(x) 결과가 다시 그 집합 내에 있게됨
     - ⑦  곱셈 항등원(`1`)이 존재 (identity) : a·1 = a = 1·a
     - ⑧  0 이외의 모든 성분에 대해 곱셈 역원이 존재 (inverse) : a a-1 = 1 = a-1 a if a ≠ 0
     - ⑨  0 이외의 모든 성분에 대해 결합법칙이 성립 (associativity) : (a b) c = a (b c)
     - ⑩  0 이외의 모든 성분에 대해 교환법칙이 성립 (commutativity) : a b = b a

  ㅇ 덧셈(+) 및 곱셈(x) 연산에 대해 :  ( F, +, · )
     - ⑪  뎃셈에 대한 곱셈 연산분배법칙이 성립 (distributivity) : a (b + c) = a b + a c 


3. 체, 가환군(아벨군), 가환환,  비교

  ㅇ 체 공리가환군(아벨군)으로 짧게 표현하면,
     - ① 덧셈에 대해 덧셈 항등원(0)을 갖는 가환군(아벨군)
     - ② 곱셈에 대해 0 이외 원소들(F*)이 곱셈 항등원(1)을 갖는 가환군(아벨군)
     - ③ 덧셈에 대한 곱셈 연산분배법칙이 성립

  ㅇ 체 공리가환환으로 짧게 표현하면,
     - ① 가환환이 0 이외의 모든 성분에 대해 각각 곱셈 역원이 존재할 때 => 체(Field)

  ㅇ 환 공리를 체 공리로써 짧게 표현하면,
     - ① 체 공리 중 곱셈의 역원 존재를 제외한 나머지 공리들을 만족하는 경우 => 환(Ring)

     * 결국, 환(Ring)이, 가장 일반적인(제약이 좀 덜한) 대수 구조4. 체의 성질

  ㅇ 체는 최소 다음 두 요소 만으로도 구성 가능
     - 즉, 덧셈 항등원(0), 곱셈 항등원(1)

  ㅇ 체의 대수적 구조에서 응용상 중요한 성질 : 각 원소(성분)가 역원을 갖음

  ㅇ  a·0 = 0·a = 0
  ㅇ  a≠0,b≠0 일 때, a·b ≠ 0
  ㅇ  a·b = 0,a≠0 일 때, b = 0
  ㅇ  -(a·b) = (-a)·b = a·(-b)
  ㅇ  a≠0,a·b = a·c 일 때, b = c


5. 체 공리의 성립 여부 例유리수체 Q  : 유리수 전체의집합
     - 덧셈에 대해서,
        . 닫혀있고, 결합법칙,교환법칙 성립, 항등원(0) 존재, 모든 원소에 역원(-a) 존재
     - 곱셈에 대해, 
        . 닫혀있고, 결합법칙,교환법칙 성립, 항등원(1) 존재, 0 이외 모든 원소에 역원(a-1) 존재
     - 덧셈에 관한 곱셈의 분배법칙이 성립
  ㅇ 실수체 R    : 실수 전체의 집합
  ㅇ 복소수체 C  : 복소수 전체의 집합 

  ㅇ 정수 Z : 체 공리역원이 존재 않을 수 있으므로(예,½은 정수 아님), 체가 아님


6. [참고사항]

  ㅇ 유한개 원소 만을 갖는 체  ☞ 유한체(갈로이스체) 참조
     - 한편, 유한개의 원소(q개) 만을 갖는 체를, GF(q) 라고 표기 함

  ㅇ 원소들의 성격
     - 벡터공간의 원소들은 벡터(Vector), 체의 원소들은 스칼라(Scalar) 임

  ㅇ 체의 부분집합 개념은,  ☞ 부분체,확대체 참조
     - 그 기본 구조를 그대로 유지하며, 보다 작은 체 / 확대할 수 있는 체


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