Linear Form, Quadratic Form   일차 형식, 이차 형식, 1차 형식, 2차 형식

(2024-01-31)

1. 일차 형식 (Linear Form), 이차 형식 (Quadratic Form) 이란?
 
  ㅇ 1차 형식 : 각 항이 모두 1차인 다항식 형태

  ㅇ 2차 형식 : 각 항이 모두 2차인 다항식 형태

  ※ 例) 두 변수 x,y를 갖는 2차 곡선 방정식
       
     - 대칭행렬 A을 이용하여 표현 가능  :  
[# \mathbf{x}^T A \mathbf{x} #]
. 이때의 대칭행렬 A를 이차형식의 행렬 이라고 함 ※ 단, 이차식 (quadratic expression)은, - ax2 + bxy + cx +dy +e 처럼 최고 차수가 2인 것을 의미 2. Rn 상의 표현 例 ㅇ Rn 상의 일차 형식 - a1x1 + a2x2 + … + anxn . 例1) R2 상의 일차 형식 : a1x1 + a2x2 . 例2) R3 상의 일차 형식 : a1x1 + a2x2 + a3x3 ㅇ Rn 상의 이차 형식 - a1x12 + a2x22 + … + anxn2 + (xi ≠ xj인 모든 형태의 akxixj) . 例1) R2 상의 이차 형식 : a1x12 + a2x22 + 2a3x1x2 . 例2) R3 상의 이차 형식 : a1x12 + a2x22 + a3x32 + 2a4x1x2 + 2a5x1x3 + 2a6x2x3 3. 이차 형식의 행렬곱 표현 ㅇ 이차 형식은, 벡터행렬의 곱을 사용하여 표현 가능 ㅇ 행렬 A와 연관된 이차형식 (quadratic form associated with A)
[# Q_A(x) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} = \mathbf{x} \cdot A \mathbf{x} = A \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} = \sum^n_{i,j=1} a_{ij} \mathbf{x}_i \mathbf{x}_j = \text{(scalar value)} \\ \qquad\;\; = a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + a_3x_3^2 + a_4x_1x_2 + a_5x_2x_3 + a_6x_1x_3 \\ \qquad\;\; = \begin{bmatrix}x_1&x_2&x_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 & a_4/2 & a_6/2 \\ a_4/2 & a_2 & a_5/2 \\ a_6/2 & a_5/2 & a_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} #]
* n개 변수의 이차 형식은, n x n 대칭행렬 A을 이용하여, {#\mathbf{x}^T A \mathbf{x}#} 형태로 표현 가능 . 행렬 A의 대각성분 : 제곱항({#x_1^2,x_2^2,x_3^2#})의 계수(5,3,2)로 된 대각행렬 . 행렬 A의 비대각성분 : 혼합항({#x_1x_2,x_2x_3#})의 계수(-1,8)의 1/2로 된 대칭행렬 ㅇ 例)
[# 5x_1^2 -x_1x_2 +3x_2^2 + 8x_2x_3 + 2x_3^2 \\ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} = \begin{bmatrix}x_1&x_2&x_3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & -1/2 & 0 \\ -1/2 & 3 & 4 \\ 0 & 4 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} #]

직교성
   1. 직교성   2. 그람 슈미트 직교화 과정   3. 일차,이차 형식  


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