Error Detecting Capability, Error Correcting Capability   오류 검출 능력, 오류 정정 능력

(2021-10-14)

에러 정정 능력, 오류 제어 능력, Hamming Sphere, Decoding Sphere, 해밍구, Maximum Distance Code, 최대 거리 부호, Hamming Bound, 해밍 한계


1. 해밍 최소거리, 해밍 구, 복호화 가능 구해밍 최소거리 (Hamming Minimum Distance)  dmin
     - 서로 다른 두 부호어 간의 해밍거리 중에서 가장 작은 거리
        . 오류를 검출하거나 정정할 수 있는 능력과 직접 관련됨

  ㅇ 해밍 구 (Hamming Sphere)
     - 수신 부호어로부터 발생가능 오류개수 t 보다 작은 해밍거리를 갖는 구

  ㅇ 복호화 가능 구 / 복호 영역 (Decoding Sphere)
     - 해밍구들이 서로 겹치지 않게 전체 부호어 공간을 꽉 채우는 구
        . 반경 t인 오류정정능력 보다 작은 개수의 오류 발생시 원래 부호어복호 가능

      


2. `오류 검출오류 정정 능력` => (해밍 최소거리비트 오류를 검출,정정하는 능력과 직결됨)오류 검출 능력 (td) : 검출 가능 최대 오류의 수
     -   td ≤ dmin - 1  또는  dmin ≥ td + 1
        . dmin : 해밍 최소 거리

     * 즉, 오류 검출 능력은, td = dmin - 1 이고,
        . 오류 갯수가, (dmin-1) 보다 작아야 오류 검출이 가능함

  ㅇ 오류 정정 능력 (tc) : 정정 가능 최대 오류의 수
     -   2 tc + 1 ≤ dmin ≤  2 tc + 2
          
[# t_{c} \leq \left \lfloor \frac{d_{min} - 1}{2} \right \rfloor #]
. 여기서, {# \lfloor x \rfloor #}는, {#x#} 보다 크지 않은 최대 정수마루 함수 참조 * 즉, 오류 정정 능력은, tc = {#\left\lfloor \frac{d_{min} - 1}{2}\right\rfloor#} 이고, . 오류 갯수가, (dmin-1)/2 보다 작은 정수가 되어야 오류 정정이 가능함 ㅇ 例) (7,4) 해밍 코드(선형블록부호)의 경우 - 최소해밍거리 : dmin = 3 비트 - 오류검출능력 : td ≤ dmin - 1 = 3 - 1 = 2 비트 - 오류정정능력 : tc ≤ (dmin - 1)/2 ≥ (3-1)/2 = 1 비트 3. 오류 검출 및 정정 능력 간의 관계 ㅇ td > tc ㅇ dmin ≥ tc + td + 1 4. 오류 검출/정정 능력의 한계(Bound) ※ n,k,td,tc 간의 관계로써, 오류 정정 능력의 한계를 규정짓는 관계식 - 주로, n와 k의 값을 어떻게 정해야 하는지에 대한 조건 관계식 ㅇ 싱글톤 한계 (Singleton Bound) - (n,k) 선형 블록부호최소거리/최소무게의 하한값 . dmin ≤ n - k + 1 또는 dmin -1 ≤ n - k .. (n - k) : 패리티비트 - 한편, 최대 거리 부호 (Maximum Distance Code)는, . 최소 거리가 다음을 만족하는 부호를 지칭함 .. dmin = n - k + 1 ㅇ 해밍 한계 (Hamming Bound) - t error-correcting code에 대해,
[# \binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\cdots+\binom{n}{t} = \sum^{t}_{i=0} \frac{n!}{(n-i)!i!} = \sum^{t}_{i=0} \binom{n}{i} \leq 2^{n-k} #]
- 여기서, (n,k) 부호일 경우에 . 전체 n개 비트 중 i 비트 마다, ☞ 이항 계수, 경우의 수 계산 (요약) 참조 .. {#\binom{n}{i}#}개의 n 차원 부호어(n-tuple Codeword)를 만들 수 있음 . 오류정정 능력으로, t 비트까지 포함하려면, .. {#\sum^{t}_{i=0} \binom{n}{i}#} . 이 오류정정 능력을 갖춘 경우의 수가, .. 2n-k개의 가능한 오류 패턴 보다 작아야 함 ☞ 표준 배열 참조 - 例) t = 1 즉, 단일 오류정정 이려면, ☞ 해밍 부호 참조 .
[# 2^{n-k} \geq \binom{n}{0} + \binom{n}{1} = 1 + n #]
. 따라서, 패리티 검사 비트수 n - k 는, n - k > log2 n 을 만족해야 함 - 한편, 완전 부호(Perfect Code)는, . 해밍 한계에 도달하는(만족하는) 부호를 지칭함



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