1. 해밍 최소거리, 해밍 구, 복호화 가능 구
ㅇ 해밍 최소거리(Hamming Minimum Distance) dmin
- 서로 다른 두 부호어 간의 해밍거리 중에서 가장 작은 거리
. 오류를 검출하거나 정정할 수 있는 능력과 직접 관련됨
ㅇ 해밍 구 (Hamming Sphere)
- 수신 부호어로부터 발생가능 오류개수 t 보다 작은 해밍거리를 갖는 구
ㅇ 복호화 가능 구/복호 영역 (Decoding Sphere)
- 해밍구들이 서로 겹치지 않게 전체 부호어 공간을 꽉 채우는 구
. 반경 t인 오류정정능력 보다 작은 개수의 오류 발생시 원래 부호어로 복호 가능
2. `오류 검출 및 오류 정정 능력` => (해밍 최소거리는 비트 오류를 검출,정정하는 능력과 직결됨)
ㅇ 오류 검출 능력 (td) : 검출 가능 최대 오류의 수
- td ≤ dmin - 1 또는 dmin ≥ td + 1
. dmin : 해밍 최소 거리
* 즉, 오류 검출 능력은, td = dmin - 1 이고,
. 오류 갯수가, (dmin-1) 보다 작아야 오류 검출이 가능함
ㅇ 오류 정정 능력 (tc) : 정정 가능 최대 오류의 수
- 2 tc + 1 ≤ dmin ≤ 2 tc + 2
[# t_{c} = \left \lfloor \frac{d_{min} - 1}{2} \right \rfloor #]
. 여기서, {# \lfloor x \rfloor #}는 x 보다 크지 않은 최대 정수 ☞ 마루 함수 참조
* 즉, 오류 정정 능력은, tc = {#\left\lfloor \frac{d_{min} - 1}{2}\right\rfloor#} 이고,
. 오류 갯수가, (dmin-1)/2 보다 작은 정수가 되어야 오류 정정이 가능함
ㅇ 오류 검출 및 정정 능력 간의 관계
- td > tc
- dmin ≥ tc + td + 1
ㅇ 例) (7,4) 해밍 코드(선형블록부호)의 경우
- 최소해밍거리 : dmin = 3 비트
- 오류검출능력 : td ≥ dmin - 1 = 3 - 1 = 2 비트
- 오류정정능력 : tc ≥ (dmin - 1)/2 ≥ (3-1)/2 = 1 비트
3. 코드별 오류 검출/정정 능력의 한계(Bound)
ㅇ (n,k) 선형 블록부호의 최소거리/최소무게의 하한값
- dmin ≤ n - k + 1 (싱글톤 한계, Singleton Bound)
. (n-k) : 패리티비트
ㅇ 최대 거리 부호 (Maximum Distance Code)
- 최소 거리가 다음을 만족하는 부호
. dmin = n - k + 1